定在波の偏微分方程式の解
定義
次の条件を満たす$u$を定常波stationary waveという。
$$ \begin{cases} u_{t} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases} $$
説明
定常波は、時間が経っても形が変わらない波である。ここで、$t$は時間、$x$は位置、$u(t,x)$は時間が$t$であるときの位置$x$での波形を表している。$f$は初期条件で、特に$t=0$のときの波形を表している。
$$ f(x) = u(0, x) $$
定常波の偏微分方程式の解が存在する場合、解は次の通りである。
解
両辺に$0$から$t$までの定積分を取る。
$$ \int_{0}^{t} {{\partial u} \over { \partial t }} ( s , x ) ds = \int_{0}^{t} 0 ds $$
$$ \implies u(t,x) - u(0,x) = 0 $$
$t$に関係なく常に$u(t,x) = u(0,x)$が成り立つので、初期条件では$u(t,x) = f(x)$である。
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