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完全微分方程式の解法 📂微分方程式

完全微分方程式の解法

解答

与えられた完全微分方程式 M(x,y)+N(x,y)dydx=0M(x,y)+N(x,y)\dfrac{dy}{dx}=0の解は次の通りだ。

  • ステップ 0.

    与えられた微分方程式が完全であるので、ψx=M,  ψy=N,  ψ=c\psi_{x}=M,\ \ \psi_{y}=N, \ \ \psi=cを満たすψ\psiが存在する。

  • ステップ 1.

    ψx\psi_{x}を積分する。その後得たψ\psiをyyで微分し、h′(y)h^\prime(y)を求める。ステップ 1を含む全過程は、xxとyyに対して逆に行っても構わない。

    ψ=∫ψx=∫M(x,y)dx+h(y)  ⟹  ψy=∂∂y(∫M(x,y)dx)+h′(y)=N(x,y)  ⟹  h′(y)=N(x,y)−∂∂y(∫M(x,y)dx) \begin{align} && \psi &= \int \psi_{x} = \int M(x,y)dx + h(y) \label{eq1} \\ \implies && \psi_{y}&=\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) +h^\prime(y)=N(x,y) \nonumber \\ \implies && h^\prime(y)&=N(x,y) - \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \nonumber \end{align}

  • ステップ 2.

    求めたh′(y)h^\prime(y)を積分してh(y)h(y)を得た後(eq1)\eqref{eq1}に代入する。

    h(y)=∫h′(y)dy=∫N(x,y)dy−∫[∂∂y(∫M(x,y)dx)]dy  ⟹  ψ(x,y)=∫M(x,y)dx+∫N(x,y)dy−∫[∂∂y(∫M(x,y)dx)]dy \begin{align*} && h(y)&=\int h^\prime(y) dy =\int N(x,y) dy - \int \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \right] dy \\ \implies && \psi (x,y)&= \int M(x,y)dx + \int N(x,y) dy - \int \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \right] dy \end{align*}

  • ステップ 3.

  • 最終的にψ\psiを陰関数の形で表すと、微分方程式の解となる。

    ∫M(x,y)dx+∫N(x,y)dy−∫[∂∂y(∫M(x,y)dx)]dy=c \int M(x,y)dx + \int N(x,y) dy - \int \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \right] dy=c

■

例題

1

微分方程式(2x3y+4xy)+(12x4+2x2+3y2)y′=0(2x^3y+4xy)+(\frac{1}{2}x^4+2x^2+3y^2)y^\prime=0を解け。

M(x,y)=2x3y+4xyN(x,y)=12x4+2x2+3y2 M(x,y)=2x^3y+4xy\quad N(x,y)=\frac{1}{2}x^4+2x^2+3y^2

すると、

My=2x3+4x=Nx M_{y}=2x^3+4x=N_{x}

つまり、与えられた微分方程式は完全である。そのため、

ψx=M,ψy=N \psi_{x}=M,\quad \psi_{y}=N

を満たすψ=c\psi=cが存在する。

ψ=∫Mdx=∫(2x3y+4xy)dx=12x4y+2x2y+h(y)  ⟹  ψy=12x4+2x2+h′(y)=N(x,y)=12x4+2x2+3y2  ⟹  h′(y)=3y2  ⟹  h(y)=∫3y2dy=y3  ⟹  ψ=12x4y+2x2y+h(y)=12x4y+2x2y+y3 \begin{align*} && \psi&=\int M dx = \int (2x^3y+4xy) dx = \frac{1}{2}x^4y+2x^2y+h(y) \\ \implies && \psi_{y}&=\frac{1}{2}x^4+2x^2+h^\prime (y)=N(x,y)=\frac{1}{2}x^4+2x^2+3y^2 \\ \implies && h^\prime (y)&=3y^2 \\ \implies && h(y)&=\int 3y^2 dy = y^3 \\ \implies && \psi& =\frac{1}{2}x^4y+2x^2y+h(y) = \frac{1}{2}x^4y+2x^2y+y^3 \end{align*}

したがって、一般解は12x4y+2x2y+y3=c\frac{1}{2}x^4y+2x^2y+y^3=cの陰関数の形である。

■

2

微分方程式(3xy+y2)+(x2+xy)y′=0(3xy+y^2) + (x^2+xy)y^\prime =0を解け。

M(x,y)=3xy+y2,  N(x,y)=x2+xy M(x,y)=3xy+y^2,\ \ N(x,y)=x^2+xy

すると、

My=3x+2y≠2x+y=Nx M_{y}=3x+2y \ne 2x+y=N_{x}

つまり、与えられた微分方程式は完全ではない。したがって、完全微分方程式の解法を使うことはできない。本当にダメか確認しよう。完全微分方程式ではないが、

ψx=M(x,y)=3xy+y2,ψy=N(x,y)=x2+xy \psi_{x}=M(x,y)=3xy+y^2,\quad \psi_{y}=N(x,y)=x^2+xy

を満たすψ\psiが存在すると仮定してみる。完全微分方程式の解法に従うと、

ψ=∫ψxdx=∫3xy+y2dx=32x2y+xy2+h(y)ψy=32x2+2xy+h′(y)=N(x,y)=x2+xy  ⟹  h′(y)=−12x2−xy \begin{align*} && \psi& =\int \psi_{x} dx = \int 3xy+y^2 dx = \frac{3}{2}x^2y+xy^2+h(y) \\ && \psi_{y}&=\frac{3}{2}x^2 + 2xy+h^\prime (y)=N(x,y)=x^2+xy \\ \implies && h^\prime (y) &= -\frac{1}{2}x^2-xy \end{align*}

この結果はh′(y)h^\prime(y)がyyにのみ依存する関数であるという事実と矛盾する。したがって、完全微分方程式の定義を満たすψ(x,y)\psi (x,y)は存在しない。

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