完全微分方程式の解法
解答
与えられた完全微分方程式 $M(x,y)+N(x,y)\dfrac{dy}{dx}=0$の解は次の通りだ。
ステップ 0.
与えられた微分方程式が完全であるので、$\psi_{x}=M,\ \ \psi_{y}=N, \ \ \psi=c$を満たす$\psi$が存在する。
ステップ 1.
$\psi_{x}$を積分する。その後得た$\psi$を$y$で微分し、$h^\prime(y)$を求める。ステップ 1を含む全過程は、$x$と$y$に対して逆に行っても構わない。
$$ \begin{align} && \psi &= \int \psi_{x} = \int M(x,y)dx + h(y) \label{eq1} \\ \implies && \psi_{y}&=\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) +h^\prime(y)=N(x,y) \nonumber \\ \implies && h^\prime(y)&=N(x,y) - \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \nonumber \end{align} $$
ステップ 2.
求めた$h^\prime(y)$を積分して$h(y)$を得た後$\eqref{eq1}$に代入する。
$$ \begin{align*} && h(y)&=\int h^\prime(y) dy =\int N(x,y) dy - \int \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \right] dy \\ \implies && \psi (x,y)&= \int M(x,y)dx + \int N(x,y) dy - \int \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \right] dy \end{align*} $$
ステップ 3.
最終的に$\psi$を陰関数の形で表すと、微分方程式の解となる。
$$ \int M(x,y)dx + \int N(x,y) dy - \int \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x,y)dx \right) \right] dy=c $$
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例題
1
微分方程式$(2x^3y+4xy)+(\frac{1}{2}x^4+2x^2+3y^2)y^\prime=0$を解け。
$$ M(x,y)=2x^3y+4xy\quad N(x,y)=\frac{1}{2}x^4+2x^2+3y^2 $$
すると、
$$ M_{y}=2x^3+4x=N_{x} $$
つまり、与えられた微分方程式は完全である。そのため、
$$ \psi_{x}=M,\quad \psi_{y}=N $$
を満たす$\psi=c$が存在する。
$$ \begin{align*} && \psi&=\int M dx = \int (2x^3y+4xy) dx = \frac{1}{2}x^4y+2x^2y+h(y) \\ \implies && \psi_{y}&=\frac{1}{2}x^4+2x^2+h^\prime (y)=N(x,y)=\frac{1}{2}x^4+2x^2+3y^2 \\ \implies && h^\prime (y)&=3y^2 \\ \implies && h(y)&=\int 3y^2 dy = y^3 \\ \implies && \psi& =\frac{1}{2}x^4y+2x^2y+h(y) = \frac{1}{2}x^4y+2x^2y+y^3 \end{align*} $$
したがって、一般解は$\frac{1}{2}x^4y+2x^2y+y^3=c$の陰関数の形である。
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2
微分方程式$(3xy+y^2) + (x^2+xy)y^\prime =0$を解け。
$$ M(x,y)=3xy+y^2,\ \ N(x,y)=x^2+xy $$
すると、
$$ M_{y}=3x+2y \ne 2x+y=N_{x} $$
つまり、与えられた微分方程式は完全ではない。したがって、完全微分方程式の解法を使うことはできない。本当にダメか確認しよう。完全微分方程式ではないが、
$$ \psi_{x}=M(x,y)=3xy+y^2,\quad \psi_{y}=N(x,y)=x^2+xy $$
を満たす$\psi$が存在すると仮定してみる。完全微分方程式の解法に従うと、
$$ \begin{align*} && \psi& =\int \psi_{x} dx = \int 3xy+y^2 dx = \frac{3}{2}x^2y+xy^2+h(y) \\ && \psi_{y}&=\frac{3}{2}x^2 + 2xy+h^\prime (y)=N(x,y)=x^2+xy \\ \implies && h^\prime (y) &= -\frac{1}{2}x^2-xy \end{align*} $$
この結果は$h^\prime(y)$が$y$にのみ依存する関数であるという事実と矛盾する。したがって、完全微分方程式の定義を満たす$\psi (x,y)$は存在しない。
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