同次関数と1階微分方程式
証明
$$ f(x,y)dx+g(x,y)dy=0 $$
ここで$y \equiv ux$と置換すると$u=\dfrac{y}{x}$、$dy=udx+xdu$なので、与えられた微分方程式は次のようになる。
$$ f(x,y)dx+g(x,y)[udx+xdu]=0 $$
さらに、$f, g$が同次関数であるため、以下が成立する。
$$ \begin{align*} f(x,y) &= f(x\cdot 1,x \cdot \frac{y}{x})=x^n f(1,\frac{y}{x})=x^n f(1,u) \\ g(x,y) &= g(x\cdot 1,x \cdot \frac{y}{x})=x^n g(1,\frac{y}{x})=x^n g(1,u) \end{align*} $$
したがって、与えられた式を$x$と$u$だけで表すと、次のようになる。
$$ \begin{align*} && x^n f(1,u)dx+x^n g(1,u)[udx+xdu] &= 0 \\ \implies && f(1,u)dx + g(1,u)[udx+xdu] &= 0 \\ \implies && f(1,u)dx + g(1,u)udx + g(1,u)xdu &= 0 \\ \implies && [ f(1,u)+ug(1,u)]dx &= -xg(1,u)du \\ \implies && \dfrac{-1}{x} dx &= \dfrac{g(1,u)}{ f(1,u)+ug(1,u) } du \end{align*} $$
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重要な点は、$f$と$g$が同じ次数である場合のみ、分離可能な形に変えることができるということだ。異なる次数の同次関数の場合は、分離可能な形に変えることができない。
Example
1
$$ \dfrac{dy}{dx}=f \left( \frac{y}{x} \right) $$
When substituting with $y \equiv ux$, since $\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}$, the given differential equation is
$$ \begin{align*} && u+x\dfrac{du}{dx} &= f(u) \\ \implies && udx+xdu &= f(u)dx \\ \implies && xdu &= [f(u)-u]dx \\ \implies && \dfrac{1}{x}dx &= \dfrac{1}{f(u)-u} du \end{align*} $$
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例
1
$$ \dfrac{dy}{dx}=f \left( \frac{y}{x} \right) $$
$y \equiv ux$で置換すると$\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}$なので、与えられた微分方程式は
$$ \begin{align*} && u+x\dfrac{du}{dx} &= f(u) \\ \implies && udx+xdu &= f(u)dx \\ \implies && xdu &= [f(u)-u]dx \\ \implies && \dfrac{1}{x}dx &= \dfrac{1}{f(u)-u} du \end{align*} $$
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2
$$ 3x^2y \dfrac{dy}{dx}-2xy^2+y^3=0 $$
In the definition above, where $g(x,y)=3x^2y$ and $f(x,y)=-2xy^2+y^3$ are given. When substituting with $y \equiv ux$, since $\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}$, the given differential equation is as follows.
$$ \begin{align*} && 3x^2(ux)\left( x\dfrac{du}{dx}+u\right) -2x(ux)^2+(ux)^3 &= 0 \\ \implies && 3ux^4\dfrac{du}{dx}+3u^2x^3-2u^2x^3+u^3x^3 &= 0 \\ \implies && 3x\dfrac{du}{dx}+3u-2u+u^2 &= 0 \\ \implies && 3x\dfrac{du}{dx} &= -u^2-u \\ \implies && \dfrac{3}{u^2+u} du &= \dfrac{-1}{x}dx \end{align*} $$
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2
$$ 3x^2y \dfrac{dy}{dx}-2xy^2+y^3=0 $$
上の定義で、$g(x,y)=3x^2y$、$f(x,y)=-2xy^2+y^3$である場合。$y \equiv ux$で置換すると$\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}$なので、与えられた微分方程式は次のようになる。
$$ \begin{align*} && 3x^2(ux)\left( x\dfrac{du}{dx}+u\right) -2x(ux)^2+(ux)^3 &= 0 \\ \implies && 3ux^4\dfrac{du}{dx}+3u^2x^3-2u^2x^3+u^3x^3 &= 0 \\ \implies && 3x\dfrac{du}{dx}+3u-2u+u^2 &= 0 \\ \implies && 3x\dfrac{du}{dx} &= -u^2-u \\ \implies && \dfrac{3}{u^2+u} du &= \dfrac{-1}{x}dx \end{align*} $$
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