📂位相幾何学

パス連結成分

定義 ¹

ある位相空間 $X$ のパス連結部分空間の中で、自分自身だけを連結スーパーセットとして持つパス連結集合を $X$ のパス連結成分という。特に、$x \in X$ を含むパス連結成分を$P_{x}$ と書く。

定理

• [1]: $x \in X$ はただ一つの $P_{x}$ にのみ属する。
• [2]: $a,b \in X$ に対して、$P_{a} = P_{b}$ か $P_{a} \cap P_{b} = \emptyset$ のどちらかである。
• [5]: $X$ がパス連結空間であることと、$X$ がただ一つのパス連結成分を持つことは、互いに同値である。

連結成分との違い

一見すると、連結成分との違いは全くないように見えるが、よく見ると定理[4]が巧妙に抜けていることがわかる。その性質は以下の通りである。

• [4]: $X$ のすべての連結成分は、$X$ で閉じ集合である。

[4]で「連結」を「パス連結」に変えたときに成立しない反例は、位相数学者のサイン曲線である。