サインの二乗プラスコサインの二乗が1に等しいことの証明
公式
$$ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 $$
証明
1-コサインの加法公式
コサインの加法定理を使えば、すごく簡単にわかる。
$$ \cos(\theta_{1}-\theta_2)=\cos\theta_{1}\cos\theta_2 + \sin\theta_{1}\sin\theta_2 $$
ここで、$\theta_{1}$, $\theta_2$の代わりに$\theta$を代入すると
$$\cos(\theta-\theta)=\cos^2\theta + \sin^2\theta$$
$$\implies \cos(\theta-\theta)=\cos 0=1$$
$$\implies \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$
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2-ピタゴラスの定理
半径が1の単位円がある。単位円の半径、単位円の点接で$x$軸に下ろした垂線、$x$軸が形成する三角形を見よう。底辺の長さは$\cos\theta$、高さの長さは$\sin\theta$、斜辺の長さは$1$だ。したがって、ピタゴラスの定理によると
$$ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 $$
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