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三角関数の倍角公式と半角公式

概要

寿司屋の店長が高校生だった時には、加法定理や倍角公式、和差公式まで教育課程にあったが、最近はないと聞いている。以下の公式はすべて加法公式から導出できるので、すべてを覚えるよりは、導出過程を習得して必要な時に導出する方が良い。

加法定理

$$\begin{align*} \sin ( \theta_{1} \pm \theta_{2}) &= \sin \theta_{1} \cos \theta_{2} \pm \sin \theta_{2} \cos \theta_{2} \\ \cos ( \theta_{1} \pm \theta_{2}) &= \cos \theta_{1} \cos\theta_{2} \mp \sin\theta_{1} \sin\theta_{2} \\ \tan ( \theta_{1} \pm \theta_{2}) &= \dfrac{\tan\theta_{1} \pm \tan\theta_{2}}{1 \mp \tan\theta_{1}\tan\theta_{2}} \end{align*}$$

倍角公式

$$\begin{align*} \sin 2\theta &=2\sin\theta\cos\theta \\ \cos 2\theta &=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=2\cos^{2}\theta-1=1-2\sin^{2}\theta \\ \tan 2\theta &=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta} \end{align*}$$

証明

倍角公式は、サインとコサインの積からコサインを除去する時に使用する。または、角度に対する項が$\theta$と$2\theta$に分かれている時に$\theta$に合わせる時に使用する。加法公式から$\theta_{1} = \theta_{2}=\theta$と置くことで導出できる。

$\sin$

$$\begin{cases} \sin(\theta+\theta)=\sin(\theta+\theta)=\sin 2\theta \\ \sin(\theta+\theta) = \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta \cos \theta \end{cases}$$

$$\implies \sin 2\theta =2\sin\theta\cos\theta$$

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$\cos$

$$\begin{cases} \cos(\theta+\theta)=\cos(\theta+\theta)=\cos 2\theta \\ \cos(\theta+\theta)=\cos \theta \cos\theta - \sin\theta \sin\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=2\cos^{2}\theta-1=1-2\sin^{2}\theta \end{cases}$$

$$\implies \cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=2\cos^{2}\theta-1=1-2\sin^{2}\theta$$

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$\tan$

$$\tan 2\theta =\dfrac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta}=\dfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta}$$

分子、分母を$\cos^{2}\theta$で割ると以下のようになる。

$$\tan 2\theta =\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$$

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半角公式

$$\begin{align*} \sin^{2} \dfrac{\theta}{2}&=\dfrac{1}{2}(1-\cos\theta) \\ \cos^{2} \dfrac{\theta}{2}&=\dfrac{1}{2}(\cos\theta+1) \\ \tan^{2} \dfrac{\theta}{2}&=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta} \end{align*}$$

証明

半角公式は、三角関数を積分する時に階数を下げる用途など、様々な計算で役立つ。コサインの倍角公式を利用して導出できる。

$\sin$

$$\begin{align*} &&\cos 2\theta &=1-2\sin^{2}\theta \\ \implies && 2\sin^{2}\theta&=1-\cos2\theta \\ \implies && \sin^{2}\theta&=\dfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta) \end{align*}$$

ここで$\theta$を$\dfrac{\theta}{2}$に置換すると次のようになる。

$$\sin^{2} \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{2}(1-\cos\theta)$$

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$\cos$

$$\begin{align*} &&\cos 2\theta &=2\cos^{2}\theta-1 \\ \implies && 2\cos^{2}\theta&=\cos 2\theta+1 \\ \implies && \cos^{2}\theta&=\dfrac{1}{2}(\cos 2\theta+1) \end{align*}$$

ここで$\theta$を$\dfrac{\theta}{2}$に置換すると次のようになる。

$$\cos^{2} \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{2}(\cos\theta+1)$$

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$\tan$

$$\tan^{2} \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}=\dfrac{\frac{1}{2}(1-\cos\theta)}{\frac{1}{2}(\cos\theta+1)}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$$

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