📂測度論

外測度

定義 ¹

$E \subset \mathbb{R}$, $\left\{ I_{n} \in \mathcal{I} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\} $, $\left\{ E_{n} \in \mathscr{P} ( \mathbb{R} ) \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$において、関数$m^{ \ast } (E) : = \inf Z_{E}$を外測度^{outer measure}と呼ぶ。

基本性質

外測度は以下の性質を持つ。

• [1] 長さの一般化: $I \in \mathcal{I} \implies m^{ \ast } (I) = l(I)$
• [2] 正符号性: $N \in \mathcal{N} \iff m^{ \ast }(N) = 0$
• [3] 単調性: $E_{1} \subset E_{2} \implies m^{ \ast }(E_{1}) \le m^{ \ast }(E_{2})$
• [4] 変換不変性: $t \in \mathbb{R} \implies m^{ \ast } (E) = m^{ \ast } (E+t)$
• [5] 可算劣加法性: $\displaystyle m^{ \ast } \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) \le \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } (E_{n})$

説明

$Z_{E}$の要素が距離の合計であるので、$Z_{E}$は下に有界であり、$\inf Z_{E}$の存在は自明である。条件では$\displaystyle E \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} I_{n}$を満たさなければならず、最小の$\inf$を選ぶことは「外側から範囲を絞る」ことと考えることができる。そのため、外測度は**(Lebesgue)外測度**とも呼ばれ、この名前付けは妥当であると言えるだろう。

性質[1]から推測できるように、外測度は「長さ」を一般化するために考案された概念である。自然と、我々が直感的に、慣習的に使用してきた長さをカバーできなければならない。この意味で、[2]〜[5]のような性質は必須であり、それがなければ一般化とは言い難い。

特に[5]を見ると、ノルムの三角不等式に似た面があり、項の数が可算的に増えたという違いがある。常識的に、すべての$i \ne j$に対し、$E_{i} \cap E_{j} = \emptyset$の時 $$ m^{ \ast } \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } (E_{n}) $$ が成立するならば、つまり$\displaystyle m^{ \ast } \left( \bigsqcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } (E_{n})$が成立するならば、長さの一般化は成功したと言えるだろう。（ここで$\bigsqcup$は互いに素な集合の和集合を意味する記号である。）

外測度の限界

問題は、これほど強い条件を設定したにも関わらず、異常な反例が存在し、等式を成立させることができなかったことである。この等式を満たすために、数学者たち、特にルベーグは新しい条件を探し始めることになる。

反例

すべての$i \ne j$に対し、以下は常に成立しない。 $$\displaystyle E_{i} \cap E_{j} = \emptyset \implies m^{ \ast } \left( \bigsqcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } (E_{n})$$

反証

$\displaystyle E_{i} \cap E_{j} = \emptyset \implies m^{ \ast } \left( \bigsqcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) \ne \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } (E_{n})$の反例を示せば十分である。

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$x,y \in [0,1]$と$y-x \in \mathbb{Q}$ならば$x \sim y$である関係を定義すれば、$\sim$が同値関係であることは容易に示せる。$\sim$は同値類$A_{\alpha}$を決定し、$[0,1]$が非可算であるため、すべての$\alpha \in [0,1]$に対して$A_{\alpha}$が存在し、$A_{\alpha}$は非可算的に多い。一方$x \in A_{\alpha}$と$q \in \mathbb{Q} \cap [0,1]$に対して$x - (x - q) = q \in \mathbb{Q}$が成立するため、それぞれの$A_{\alpha}$は可算集合である。

これで、すべての$A_{\alpha}$から元をひとつずつ選んで集めた集合$E$を考える。このような集合$E$を構成できることは選択公理により保証されている。

すると、任意の$q_{n} \in \mathbb{Q} \cap [0,1]$に対して$E_{n} := E + q_{n}$を定義できる。$z \in E_{i} \cap E_{j}$と仮定すると $$ a_{\alpha} + q_{i} = z = a_{\beta} + q_{j} \\ a_{\alpha} - a_{\beta} = q_{j} - q_{i} \in \mathbb{Q} $$ であり、これは$a_{\alpha} - a_{\beta} \in \mathbb{Q}$を意味し、$a_{\alpha}$と$a_{\beta}$がある$A_{\lambda}$に同時に属していることを意味する。しかし、$E$は各$A_{\alpha}$からひとつの元だけを選んできたので、矛盾が発生し、したがって$i \ne j$に対して$E_{i} \cap E_{j} = \emptyset$が成立しなければならない。

一方で、$\displaystyle [0,1] \subset \bigsqcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \subset [-1,2]$であるため、[3] 単調性により $$ m^{ \ast } [0,1] \le m^{ \ast } \left( \bigsqcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) \le m^{ \ast } [-1, 2] $$ $\displaystyle m^{ \ast } \left( \bigsqcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } (E_{n})$が成立すると仮定すると $$ 1 \le \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } ( E_{n} ) \le 3 $$

[4] 変換不変性により$m^{ \ast }(E_{n}) = m^{ \ast }(E + q_{n}) = m^{ \ast }(E)$であるため、 $$ 1 \le \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } ( E_{n} ) = m^{ \ast } (E) + m^{ \ast } (E) + \cdots \le 3 $$ $\displaystyle 1 \le \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } ( E )$であるためには$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } ( E ) = \infty$でなければならず、$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } ( E ) \le 3$であるためには$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } ( E ) = 0$でなければならない。これら二つの条件を同時に満たすことは不可能であるため、 $$ m^{ \ast } \left( \bigsqcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) \ne \sum_{n=1}^{\infty} m^{ \ast } (E_{n}) $$

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反例だけでなく、このような反例を思いつく脳がこの世に存在したことがさらに衝撃的だ。もし、類似していない、独創的な反例を発見したら、精神病院か大学院のどちらかを必ず訪れることをおすすめする。