📂微分方程式

微分方程式の定義と例

定義

一つまたはそれ以上の従属変数を一つまたはそれ以上の独立変数に関して微分した導関数を含む等式を微分方程式^{differential equation}という。

$$\dfrac{dy}{dx}=y$$

$$\dfrac{d^2y}{dx^2} = y$$

説明

ほとんどの物理的な状況は、1次または2次微分方程式で表すことができる。

落下する物体

$$F=ma=mg$$

$$v=\dfrac{dy}{dt}$$

$$a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{dy}{dt} \right)=\dfrac{d^2y}{dt^2}$$

$$\dfrac{d^2y}{dt^2}=g$$

スプリング質量系

$$F=ma=-ky$$

$$a= -\dfrac{k}{m}y$$

$$\dfrac{d^2y}{dt^2}=-\dfrac{k}{m}y$$

$$\dfrac{d^2y}{dt^2}+\dfrac{k}{m}y=0$$

この時$w^2=\dfrac{k}{m}$とすると、

$$\dfrac{d^2y}{dt^2}+w^2y=0$$

RLC回路

$$L\dfrac{d^2q}{dt^2}+R\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{1}{c}q=V(t)$$

シュレディンガー方程式

$$i\hbar \dfrac{\partial \psi}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^2 }{2m} \dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + u(x)\psi$$