📂集合論

単射、全射、全単射、逆関数

定義 ¹

$x \in X$かつ$y \in Y$、そして$f: X \to Y$が関数だとしよう。

1. すべての$x_{1}, x_{2} \in X$に対して$x_{1} \ne x_{2} \implies f(x_{1}) \ne f(x_{2})$ならば、$f$を単射^injectiveという。
2. $f(X) = Y$ならば、$f$を全射^surjectiveという。
3. $f$が単射でありかつ全射ならば、全単射^bijectiveという。
4. $I(x) = x$を満たす$I : X \to X$を恒等関数^{identity function}という。
5. すべての$x, y$に対して$f(x) = y$かつ$f^{-1} (y) = x$を満たす$f^{-1} : Y \to X$を$f$の逆関数^{inverse function}という。

基礎的性質

• [2]: $f$が全単射であることと逆関数 $f^{-1}$が存在することは同値だ。

説明

• 単射を一対一^one-to-one、あるいは一対一関数ともいう。
• 全射をontoともいう。
• 全単射を一対一対応^{1-1 corresponding}ともいう。

入試数学では本当に重要でないと思われがちだが、あまりにも重要な概念こそが一対一対応である。数学に手こずる多くの学生は、こうした事実を聞いたこともないと思っていたり、聞いたことはあっても問題解決に使い道がないと考えたりする。まったく間違った話ではないが、この程度をよく知らないのであれば、問題解決に必要なものもよく知らない可能性が高い。

それなりにできる学生も、高校をうまく乗り越えて学部レベルの数学に触れて初めて、真に全単射を体で受け入れる場合が多い。一対一対応は集合論だけでなく、広く広い数学の世界において、それがどんな科目であるかを問わず最も重要な概念である。しかし、それほど強力で良い条件であるがゆえに、逆説的に、数学者たちは全単射の条件を緩和する方向へと研究することになる。どうすれば他の条件で全単射であることを導けるか、実際には全単射でないにもかかわらず全単射のように使えるか、などである。

どれほど重要かをおおまかに説明するなら、「本当に重要だから正確に知っておかなければならない」という言葉すら必要ないほどである。好むと好まざるとにかかわらず、あらゆる科目で全単射が出てくるため、むしろ卒業するまで全単射を正確に知らないでいる方がもっと難しいだろう。