角運動量演算子の行列表現
公式
角運動量演算子の行列表示は次の通りだ。$\ell = 1$のとき、$m = 1, 0, -1$だ。
$$ \underset{\normalsize L_{z} = }{\scriptsize} \begin{array}{cccc} \scriptstyle{m=1} & \scriptstyle m=0 & \scriptstyle m=-1 & \\ \hbar\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right. & \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} & \left. \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right] & \begin{array}{l} \scriptstyle m=1 \\ \scriptstyle m=0 \\ \scriptstyle m=-1 \end{array} \end{array} $$
$$ \underset{\normalsize L_{x} = }{\scriptsize} \begin{array}{cccc} \scriptstyle{m=1} & \scriptstyle m=0 & \scriptstyle m=-1 & \\ \dfrac{\hbar}{\sqrt{2}}\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right. & \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} & \left. \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] & \begin{array}{l} \scriptstyle m=1 \\ \scriptstyle m=0 \\ \scriptstyle m=-1 \end{array} \end{array} $$
$$ \underset{\normalsize L_{y} = }{\scriptsize} \begin{array}{cccc} \scriptstyle{m=1} & \scriptstyle m=0 & \scriptstyle m=-1 & \\ \dfrac{\hbar}{\sqrt{2}}\left[ \begin{array}{c} 0 \\ -\i \\ 0 \end{array} \right. & \begin{array}{c} \i \\ 0 \\ -\i \end{array} & \left. \begin{array}{c} 0 \\ \i \\ 0 \end{array} \right] & \begin{array}{l} \scriptstyle m=1 \\ \scriptstyle m=0 \\ \scriptstyle m=-1 \end{array} \end{array} $$
角運動量のラダー演算子の行列表示は次の通りだ。$\ell = 1$のとき、$m = 1, 0, -1$だ。
$$ \underset{\normalsize L_{+} = }{\scriptsize} \begin{array}{cccc} \scriptstyle{m=1} & \scriptstyle m=0 & \scriptstyle m=-1 & \\ \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right. & \begin{array}{c} \sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \end{array} & \left. \begin{array}{c} 0 \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{array} \right] & \begin{array}{l} \scriptstyle m=1 \\ \scriptstyle m=0 \\ \scriptstyle m=-1 \end{array} \end{array} $$
$$ \underset{\normalsize L_{-} = }{} \begin{array}{cccc} \scriptstyle{m=1} & \scriptstyle m=0 & \scriptstyle m=-1 & \\ \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{array} \right. & \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \sqrt{2} \end{array} & \left. \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] & \begin{array}{l} \scriptstyle m=1 \\ \scriptstyle m=0 \\ \scriptstyle m=-1 \end{array} \end{array} $$
証明
ラダー演算子
$$ \begin{align*} L_{+}\ket{\ell, m} &= \sqrt{(\ell-m)(\ell + m + 1)}\hbar\ket{\ell, m+1} \\ L_{-}\ket{\ell, m} &= \sqrt{(\ell+m)(\ell - m + 1)}\hbar\ket{\ell, m-1} \end{align*} $$
2つのラダー演算子が上記の式を満たすので、$L_{+}$について次の式を得る。
$$ \begin{align*} \braket{\ell,m^{\prime} | L_{+}|\ell,m} &= \sqrt{(\ell - m)(\ell + m + 1)}\hbar\braket{\ell,m^{\prime} | \ell,m+1} \\ &= \sqrt{(\ell - m)(\ell + m + 1)}\hbar \delta_{m^{\prime}, m+1} \end{align*} $$
このとき、$\delta$はクロネッカーのデルタだ。同じ方法で、$L_{-}$について次の式を得る。
$$ \begin{align*} \braket{\ell,m^{\prime} | L_{-}|\ell,m} &= \sqrt{(\ell + m)(\ell - m + 1)}\hbar\braket{\ell,m^{\prime} | \ell,m-1} \\ &= \sqrt{(\ell + m)(\ell - m + 1)}\hbar \delta_{m^{\prime}, m-1} \end{align*} $$
$\ell = 1$のとき可能な$m$は$1, 0, -1$なので、便宜上、$L_{\pm}$の行と列の順序を$1, 0, -1$としよう。すると、固有関数の座標ベクトルは次の通りだ。
$$ \ket{1, 1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \ket{1, 0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \ket{1, -1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$
すると、数式$L_{+} \ket{\ell, m} = \sqrt{(\ell-m)(\ell + m + 1)}\hbar\ket{\ell, m+1}$で固有関数の状態が直感的に次のように上昇する。$\ell = 1$とすれば、
$$ L_{+} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \sqrt{2}\hbar \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1em] L_{+} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \sqrt{2}\hbar \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$
行列$L_{+}$は次のようになる。
$$ \begin{align*} L_{+} &= \begin{bmatrix} \braket{1, 1 | L_{+}| 1, 1} & \braket{1, 1 | L_{+}| 1, 0} & \braket{1, 1 | L_{+}| 1,-1} \\ \braket{1, 0 | L_{+}| 1, 1} & \braket{1, 0 | L_{+}| 1, 0} & \braket{1, 0 | L_{+}| 1,-1} \\ \braket{1,-1 | L_{+}| 1, 1} & \braket{1,-1 | L_{+}| 1, 0} & \braket{1,-1 | L_{+}| 1,-1} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0\hbar \delta_{1, 2} & \sqrt{2}\hbar \delta_{1 , 1} & \sqrt{2}\hbar \delta_{ 1, 0} \\ 0\hbar \delta_{0, 2} & \sqrt{2}\hbar \delta_{0 , 1} & \sqrt{2}\hbar \delta_{ 0, 0} \\ 0\hbar \delta_{1, 2} & \sqrt{2}\hbar \delta_{-1, 1} & \sqrt{2}\hbar \delta_{-1, 0} \end{bmatrix} \\ &= \hbar \begin{bmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align*} $$
同様に、$L_{-}$について次のようになる。
$$ L_{-} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \sqrt{2}\hbar \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1em] L_{-} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \sqrt{2}\hbar \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$
$$ L_{-} = \hbar \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{bmatrix} $$
■
角運動量演算子
$L_{z}$と$L^2$の同時固有関数は$\ket{\ell, m}$であり、固有値方程式は
$$ \begin{align*} L_{z}\ket{\ell, m} &= m\hbar \ket{\ell, m} \\ L^2\ket{\ell, m} &= \ell(\ell+1)\hbar^2 \ket{\ell, m} \end{align*} $$
なので
$$ \braket{\ell,m^{\prime} | L_{z}|\ell,m}=m\hbar \braket{\ell,m^{\prime} | \ell,m}=m\hbar \delta_{mm^{\prime}} $$
したがって、$[(L_{z})_{mn}] = m \hbar \delta_{mn}$だ。このとき$\delta$はクロネッカーのデルタだ。$\ell = 1$のとき可能な$m$は$1, 0, -1$なので、便宜上$L_{z}$が$1$行、$0$行、$-1$行を持つこととしよう。各固有関数の座標ベクトルは次の通りとしよう。
$$ \ket{1, 1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \ket{1, 0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \ket{1, -1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$
すると、$[(L_{z})_{mn}] = m \hbar \delta_{mn}$なので、
$$ \begin{align*} L_{z} &= \begin{bmatrix} (L_{z})_{11} & (L_{z})_{10} & (L_{z})_{1-1} \\ (L_{z})_{01} & (L_{z})_{00} & (L_{z})_{0-1} \\ (L_{z})_{-11} & (L_{z})_{-10} & (L_{z})_{-1-1} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1\hbar\delta_{1,1} & 1\hbar\delta_{1,0} & 1\hbar\delta_{1,-1} \\ 0\hbar\delta_{0,1} & 0\hbar\delta_{0,0} & 0\hbar\delta_{0,-1} \\ -1\hbar\delta_{-1,1} & -1\hbar\delta_{-1,0} & -1\hbar\delta_{-1,-1} \end{bmatrix} \\ &= \hbar \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \end{align*} $$
また$L_{x} = \dfrac{1}{2} (L_{+} + L_{-})$であるので、$L_{y} = -\dfrac{\i}{2}(L_{+} - L_{-})$よって、$L_{x}$と$L_{y}$は次の通りだ。
$$ \begin{align*} L_{x} &= \dfrac{1}{2} (L_{+} + L_{-}) \\ &= \dfrac{1}{2}\left( \hbar\begin{bmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \hbar\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{bmatrix} \right) \\ &= \dfrac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \end{align*} $$
$$ \begin{align*} L_{y} &= -\dfrac{\i}{2} (L_{+} - L_{-}) \\ &= -\dfrac{\i}{2}\left( \hbar\begin{bmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} - \hbar\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{bmatrix} \right) \\ &= \dfrac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & -\i & 0 \\ \i & 0 & -\i \\ 0 & \i & 0 \end{bmatrix} \\ \end{align*} $$