📂位相幾何学

全射連続関数は連結性を保存する

定理

連結空間 $X$に対して、$f : X \to Y$が全射の連続関数ならば、$Y$は連結空間である。

説明

連結や連続のような似た言葉が混ざっているため、少し紛らわしいかもしれない。たいていは英語で覚えれば解決するが、この定理に使われる英単語はConnectedとContinuousなので、大して役には立たない。

証明

$Y$が連結空間ではないと仮定すると、 $$ A \cap B = \emptyset \\ A \cup B = Y $$ を満たす開いた真部分集合 $A,B \subset Y$が存在するはずだ。$f$は全射関数なので、$f^{-1}(A)$と$f^{-1}(B)$は空集合ではない。

$f$が連続関数ならば、すべての開集合 $V \subset Y$に対して、$f^{-1} (V)$は$X$で開集合である。

$f$は連続関数であるため、$f^{-1}(A)$と$f^{-1}(B)$は$X$で開集合である。しかし、交差をとってみると $$ f^{-1} (A) \cap f^{-1} (B) = f^{-1} (A \cap B) = f^{-1} ( \emptyset ) = \emptyset $$ であり、合併をとってみると $$ f^{-1} (A) \cup f^{-1} (B) = f^{-1} (A \cup B) = f^{-1} ( Y ) = X $$ である。したがって、$X$は非連結空間であり、これは矛盾である。

■

証明をよく見れば分かるが、連結性が位相的性質であることを示す方法と全く同じである。定理全体よりも事実としての性格が強くなった以下の系のほうが、より使いやすいだろう。

系

連結空間 $X$に対して$f : X \to Y$が連続関数であれば、$f(X)$は連結空間である¹。