📂整数論

トーシェント関数の乗法性質の証明

定理 ¹

$$ \gcd (n , m) =1 \implies \phi ( n m ) = \phi (n) \phi (m) $$

説明

トーション関数から導かれるいくつかの重要な結果を得るためには、絶対に必要な性質である。明らかに$\gcd (n , m) =1$という条件があるので、万能だと錯覚しないでください。

証明

一般性を失わずに、 $$ nm = p_{1}^{{k}_{1}} p_{2}^{{k}_{2}} \cdots p_{r}^{{k}_{r}} \\ p_{1} < p_{2} < \cdots < p_{r} $$ としよう。仮定から$\gcd (n , m ) = 1$なので、$p_{i} \mid n$か$p_{i} \mid m$のどちらかでなければならない。

• $p_{i} \mid n$を満たすような素数を$N_{1} , N_{2}, \cdots , N_{r_{1}}$
• $p_{i} \mid m$を満たすような素数を$M_{1} , M_{2}, \cdots , M_{r_{2}}$

とすると、 $$ n = N_{1}^{a_{1}} N_{2}^{a_{2}} \cdots N_{r_{1}}^{a_{r_{1}}} \\ m = M_{1}^{b_{1}} M_{2}^{b_{2}} \cdots M_{r_{2}}^{b_{r_{2}}} $$ で表せ、 $$ \begin{align*} \phi ( nm ) =& nm \prod_{p \mid nm} \left( 1- {{1} \over {p}} \right) \\ =& p_{1}^{{k}_{1}} p_{2}^{{k}_{2}} \cdots p_{r}^{{k}_{r}} \prod_{p \mid nm} \left( 1- {{1} \over {p}} \right) \\ =& N_{1}^{a_{1}} N_{2}^{a_{2}} \cdots N_{r_{1}}^{a_{r_{1}}} M_{1}^{b_{1}} M_{2}^{b_{2}} \cdots M_{r_{2}}^{b_{r_{2}}} \prod_{p \mid nm} \left( 1- {{1} \over {p}} \right) \end{align*} $$ もう一度、仮定から$\gcd (n , m ) = 1$なので、$p \mid n$か$p \mid m$のどちらかでなければならないため、 $$ \begin{align*} \phi ( nm ) =& N_{1}^{a_{1}} N_{2}^{a_{2}} \cdots N_{r_{1}}^{a_{r_{1}}} M_{1}^{b_{1}} M_{2}^{b_{2}} \cdots M_{r_{2}}^{b_{r_{2}}} \prod_{p \mid n} \left( 1- {{1} \over {p}} \right) \prod_{p \mid m} \left( 1- {{1} \over {p}} \right) \\ =& N_{1}^{a_{1}} N_{2}^{a_{2}} \cdots N_{r_{1}}^{a_{r_{1}}} \prod_{p \mid n} \left( 1- {{1} \over {p}} \right) M_{1}^{b_{1}} M_{2}^{b_{2}} \cdots M_{r_{2}}^{b_{r_{2}}} \prod_{p \mid m} \left( 1- {{1} \over {p}} \right) \\ =& \phi ( n ) \phi ( m ) \end{align*} $$

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