📂複素解析

ジューコフスキー変換

定義 ¹

$\displaystyle w = f(z) = a z + {{b} \over {z}}$ としよう。$a=b$ ならば、$f$ を ジュコフスキー変換^{joukowski transform} といい、中心が $0$ でない円を飛行機の翼断面の形に対応させる。

• [1]: $f$ は、中心が $0$ の円を楕円に対応させる。
• [2]: $f$ は、$0$ から始まる半直線を双曲線に対応させる。

説明

ジュコフスキー^zhukovsky は、航空力学などの分野に業績を残したソビエトの物理学者です。飛行機の翼断面を円に対応させることができるということは、航空力学の問題を複素解析で解くことができるという意味です。

証明

[1]

$z= r e^{i \theta}, w = u + iv$ とすると $$ u = ar \cos \theta + {{b} \over {r}} \cos \theta = \left( ar + {{b} \over {r}} \right) \cos \theta \\ v = ar \sin \theta - {{b} \over {r}} \sin \theta = \left( ar - {{b} \over {r}} \right) \sin \theta $$

$\displaystyle p := ar + {{b} \over {r}}, q := ar - {{b} \over {r}}$ とすると $$ {{u} \over {p}} = \cos \theta \\ \displaystyle {{v} \over {q}} = \sin \theta $$ よって $$ {{u^2} \over {p^2}} + {{v^2} \over {q^2}} = 1 $$ $r$ を定数とすると、$f$ は 円 $|z| = r$ を楕円に対応させることがわかる。

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[2]

$z= r e^{i \theta}, w = u + iv$ とすると $$ u = ar \cos \theta + {{b} \over {r}} \cos \theta = \left( ar + {{b} \over {r}} \right) \cos \theta \\ \displaystyle v = ar \sin \theta - {{b} \over {r}} \sin \theta = \left( ar - {{b} \over {r}} \right) \sin \theta $$ 一方 $$ {{u} \over { \cos \theta }} = ar + {{b} \over {r}} \\ \displaystyle {{v} \over { \sin \theta }} = ar - {{b} \over {r}} $$ よって $$ {{u^2} \over { \cos^2 \theta }} - {{v^2} \over {\sin^2 \theta }} = 4ab $$ $\theta$ を定数とすると、$f$ は $x$ 軸と角度 $\theta$ をなす半無限直線を双曲線に対応させることがわかる。

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