三角関数の加法定理：様々な証明
定理
$$ \sin\left( \alpha +\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta \\ \sin\left( \alpha -\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha +\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha -\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \\ \tan\left( \alpha +\beta \right) =\frac { \tan\alpha +\tan\beta }{ 1-\tan\alpha \tan\beta } \\ \tan\left( \alpha -\beta \right) =\frac { \tan\alpha -\tan\beta }{ 1+\tan\alpha \tan\beta } $$
証明
コサイン法則を用いた証明
ピタゴラスの定理によると $$ \begin{align*} {\overline { AB } } ^{ 2 } =& {( \cos \alpha -\cos \beta )}^{ 2 }+{(\sin\alpha -\sin\beta )}^{ 2 } \\ =& 2-2 \cos \alpha \cos \beta –2 \sin \alpha \sin \beta \end{align*} $$
第二コサイン法則により
$$ \begin{align*} { \overline { AB } } ^{ 2 } =& 1^{ 2 }+1^{ 2 }-2\cos(\beta -\alpha ) \\ =& 2-2\cos(\beta -\alpha ) \end{align*} $$
これら二つの式の右辺は等しいので
$$ \cos(\beta -\alpha )=\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta $$
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最も基本的な証明法で、色々な方法があるけど、最初は普通この方法に触れる。
ベクトルの内積を用いた証明
$$ \begin{align*} \cos(\beta -\alpha ) =& \frac { \vec { OA }\cdot \vec { OB } }{ \left| \vec { OA } \right| \left| \vec { OB } \right| } \\ =& \cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \end{align*} $$
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ベクトルの内積を紙に書くと実は一行になるのと同じ。アイディアもシンプルで最も簡単な方法だ。三角形を使った証明
(1) 三角形の面積を $S$ とすると
$$ S=\frac { 1 }{ 2 }ab\sin(\alpha +\beta ) $$
(2) 垂直を境にした二つの三角形の面積を足すと
$$ S=\frac { 1 }{ 2 }bh\sin\alpha +\frac { 1 }{ 2 }ah\sin\beta $$
このとき $h=b\cos\alpha =a\cos\beta$ なので
$$ S=\frac { 1 }{ 2 }ab\cos\beta \sin\alpha +\frac { 1 }{ 2 }ab\cos\alpha \sin\beta $$
(1)と (2)で求めたものは共に $S$ なので、両辺の $\frac { 1 }{ 2 }ab$ を削除すれば
$$ \sin(\alpha +\beta )=\cos\beta \sin\alpha +\cos\alpha \sin\beta $$
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三角形の面積を利用した証明では、アイディアはシンプルだし $h$ を上手く扱うことがポイント。回転変換を用いた証明
点 $A$ を原点に対して $\beta$ だけ回転変換すると
$$ \begin{bmatrix} \cos(\alpha +\beta ) \\ \sin(\alpha +\beta ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} { \cos\beta }&{ -\sin\beta } \\ { \sin\beta }&{ \cos\beta } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} { \cos\alpha } \\ { \sin\alpha } \end{bmatrix} \\ \implies \begin{cases} \cos(\alpha +\beta )=\cos\beta \cos\alpha -\sin\beta \sin\alpha \\ { \sin(\alpha +\beta )=\sin\beta \cos\alpha +\cos\beta \sin\alpha } \end{cases} $$
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回転変換を用いた証明。角度を少し変える必要があるけど、コサインとサインについて同時に得られるのでいい。結論
これらの場合は思った以上によく使われるので、覚えておくと便利。
- $$ \begin{align*} \sin(\frac { \pi }{ 4 }+\frac { \pi }{ 6 })=\cos(\frac { \pi }{ 4 }-\frac { \pi }{ 6 })=\frac { \sqrt { 3 }+1 }{ 2\sqrt { 2 } } \\ \sin(\frac { \pi }{ 4 }-\frac { \pi }{ 6 })=\cos(\frac { \pi }{ 4 }+\frac { \pi }{ 6 })=\frac { \sqrt { 3 }-1 }{ 2\sqrt { 2 } } \end{align*} $$
- タンジェントの加法定理： $$ \tan ( \theta_1 \pm \theta_2) = \dfrac{\tan\theta_1 \pm \tan\theta_2}{1 \mp \tan\theta_1\tan\theta_2} $$
タンジェントの加法定理の証明
$$ \tan (\theta_1 \pm \theta2)=\dfrac{\sin ( \theta_1 \pm \theta_2)}{\cos ( \theta_1 \pm \theta_2)} =\dfrac{ \sin \theta_1 \cos \theta_2 \pm \sin \theta_2 \cos \theta_2}{\cos \theta_1 \cos\theta_2 \mp \sin\theta_1 \sin\theta_2} $$ 分子と分母を $\cos\theta_1\cos\theta_2$ で割ると $$ \dfrac{ \dfrac{\sin \theta_1}{ \cos \theta_1} \pm \dfrac{\sin \theta_2}{ \cos \theta_1} } { 1 \mp \dfrac{\sin\theta_1 \sin\theta_2}{\cos\theta_1\cos\theta_2 }} = \dfrac{ \tan\theta_1 \pm \tan\theta_2}{1 \mp \tan\theta_1\tan\theta_2} $$
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