📂複素解析

複素解析における反転

定義 ¹

直線 $L: 2px + 2qy + c = 0$ と円 $\mathscr{C}: |z - A | = r$、そしてそれらにない点 $P: z = x + iy$ を考えよう。これに対する逆点は次のように定義される。

1. $\displaystyle {{y - y^{ \ast }} \over {x - x^{ \ast }}} = {{q} \over {p}}$ と $p(x + x^{ \ast }) + q(y + i y^{ \ast }) + c = 0$ を満たす $Q: z^{ \ast } = x^{ \ast } + i y^{ \ast }$ を、$P$ の直線 $L$ に対する逆点と定義する。 2. $\overline{AP} \cdot \overline{AQ} = r^2$ を満たす $Q: z^{ \ast } = x^{ \ast } + i y^{ \ast }$ を、$P$ の円 $\mathscr{C}$ に対する逆点と定義する。

説明

直線に対する対称点を逆点と定義するのはかなり直感的だが、円に対する逆点は馴染みがないかもしれない。特に、円の中心の逆点が無限遠、すなわち $P \to A$ である時 $Q \to \infty$ はかなり受け入れがたいかもしれない。しかし、定義と図が複雑に描かれているのでそう感じるだけで、本質的には円の中心と軸をとって $\displaystyle {{r^2} \over {z}}$ を取ったのと同じだ。

ピンとこなければ、$\mathscr{C}: |z| = 2$ に対して $P = 1$ として直接 $Q$ を計算してみよう。三角比を使えば $\displaystyle Q = 4 = { {2^2} \over {1} }$ であることを容易に確認できるだろう。単純に考えても、円内の全ての点は円外の全ての点と一対一対応するので、こんなに簡単な概念を使わなかったわけがない。だが、書きながら曖昧な表現を除外しようとすると、多くのものが省略されてしまったので、見慣れないものに見えるだけだ。

次の原理は、円や直線は双線形変換を施しても円や直線であるという事実から容易に導かれる。

対称性の原理

$z$ と $z^{ \ast }$ が互いに逆点であるとする。

• [1] 直線: $Bz + \overline{Bz} + c = 0$ $\iff$ $Bz^{ \ast } + \overline{Bz} + c = 0$
• [2] 円: $a z \overline{z} + Bz + \overline{Bz} + c = 0$ $\iff$ $a z^{ \ast } \overline{z} + Bz^{ \ast } + \overline{Bz} + c = 0$
• [3] 全ての双線形変換は、$\tilde { \mathbb{C} }$ の逆点を $\tilde { \mathbb{C} }$ の逆点に対応させる。