位相数学における基底の同値条件
定義
集合 $X$ で、$\mathscr{B}$ は位相 $\mathscr{T}$ の基底であり、$\mathscr{B} ' $ は位相 $\mathscr{T} ' $ の基底であるとするとき、$\mathscr{T} = \mathscr{T} ' $ であれば、$\mathscr{B}$ と $\mathscr{B} ' $ は互いに同値という。
定理
基底の同値は、以下の二つの条件を満たすことが必要十分条件である。
- (i): すべての $B \in \mathscr{B}$ と $x \in B$ に対して、$x \in B ' \subset B$ を満たす $B ' \in \mathscr{B} ' $ が存在する。
- (ii): すべての $B ' \in \mathscr{B} ' $ と $x' \in b '$ に対して、$x' \in B \subset b '$ を満たす $B \in \mathscr{B}$ が存在する。
説明
基底の同値は、与えられた位相の基底は一意でないかもしれないが、本質的に交換可能であるという表現のために作成された。基底を「位相を作るための材料」と見たとき、結果的に作る位相が同じなら、それらを区別する意味がないため、$\mathscr{T} = \mathscr{T} ' $ という条件は「基底の同値」を話すには合理的な条件だと言える。
証明
$\mathscr{B}$ と $\mathscr{B} ' $ をそれぞれ $\mathscr{T}$ と $\mathscr{T} ' $ の基底とする。
$( \implies )$
$\mathscr{B}$ と $\mathscr{B} ' $ が互いに同値であるから $\mathscr{T} = \mathscr{T} ' $ が成り立ち、$B \in \mathscr{B}$ と $x \in B$ を考えることができる。
$$ B \in \mathscr{B} \subset \mathscr{T} = \mathscr{T}’ $$ で、$\mathscr{B} ' $ は$\mathscr{T} ' $ の基底であるから、$B$ は $\mathscr{B} ' $ の要素の合併である。$x \in B$ だから、$x \in B ’ \subset B$ を満たす $B ' \in \mathscr{B} ' $ が存在し、条件 (i)を満たし、全く同じ方法で、(ii)も満たされることを示せる。
$( \impliedby )$
(i), (ii)が成立するとして、$\mathscr{T} \subset \mathscr{T} ' $ を示すために、$U \in \mathscr{T}$ であり、$x \in U$ とする。
$\mathscr{B}$ は $\mathscr{T}$ の基底であるから、$x \in B_{x} \subset U$ を満たす $B_{x} \in \mathscr{B}$ が存在する。(i)に従って、すべての $x$ に対して、$x \in B_{x} ' \subset B_{x}$ を満たす $B_{x} ' \in \mathscr{B} ' $ が存在するので、 $$ U = \bigcup_{x \in U} B_{x}’ $$ が成立し、$\mathscr{T} \subset \mathscr{T} ' $ を示した。全く同じ方法で $\mathscr{T} ' \subset \mathscr{T}$ を示せ、$\mathscr{T} = \mathscr{T} ' $ を得る。
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