📂複素解析

双線形変換

定義 ¹

定義域で等角写像である$f$を次のように呼ぶ。

1. 移動^translation $f(z) = z + \alpha$
2. 拡大^{magnification}: $f(z) = \rho z$
3. 回転^rotation: $f(z) = e^{i \theta} z$
4. 反転^inversion: $f(z) = {{1} \over {z}}$
5. 双線形変換^{bilinear transform}: $\displaystyle f(z) = {{ \alpha z + \beta } \over { \gamma z + \delta }}$

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• 移動では$\alpha \in \mathbb{C}$で、拡大では$\rho \in \mathbb{R}^{ \ast }$である。

説明

1~4の中で最も異質なのは4.反転であり、それゆえに1~3のみを合成したものを別に線形変換^{linear transform}と呼ぶ。どんな図形でも移動させたり、拡大縮小したり、回転させたとしても、つまり線形変換を施しても、形そのものは保持されるが、反転ではそうではない。

双線形変換をよく見ると、1~4を合成したものであり、最初にメビウス^Möbiusによって研究されたので、メビウス変換とも呼ばれる。微分すると$\displaystyle f '(z) = {{ \alpha \delta - \beta \gamma } \over { ( \gamma z + \delta )^2 }}$になるが、等角写像の条件を満たすためには$\alpha \delta \ne \beta \gamma$であることに注意しよう。