ピタゴラス数のうち一つは偶数でなければならない
📂整数論ピタゴラス数のうち一つは偶数でなければならない
定理
自然数 a,b,cがa2+b2=c2を満たす時、aまたはbは偶数だ。
説明
興味深いことに、ピタゴラスの数の一つは必ず偶数でなければならない。
証明
偶数の二乗は偶数であり、奇数の二乗は奇数であるため、c2が奇数なら、a2かb2が偶数でなければならない。c2が偶数と仮定すると、a2とb2は両方とも奇数または偶数であるが、両方が奇数である場合のみ考えれば十分である。
ある自然数 x,y,z∈Nに対して、次のようにa,b,cを定義しよう。
a:=2x+1b:=2y+1c=2z
これをa2+b2=c2に代入すると
(2x+1)2+(2y+1)2=(2z)2
二乗を展開すると
4x2+4x+1+4y2+4y+1=4z2
両辺を2で割ると
2(x2+x+y2+y)+1=2z2
ここで、左辺は奇数だが右辺は偶数であるため、矛盾が生じる。従って、aまたはbが偶数でなければならない。
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