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二本の平行な直線の間の距離を求める公式の導出 📂幾何学

二本の平行な直線の間の距離を求める公式の導出

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d=2km2+1 d=\frac {|2k|}{\sqrt{m^2+1}}

説明

双曲線の接線の問題を解いていると、二つの接線の間の距離を求めることがよくあります。点から直線までの距離を求める公式があるため、それ自体を解くことは難しくありません。しかし、その距離を簡単かつ迅速に計算できる公式を知っていれば、少しでも計算量を減らすことができるでしょう。

導出

二つの平行な直線の方程式を y=mx±ky=mx\pm k とします。ある点 (x,y)(x,y) から直線 y=mx+ky=mx+k までの距離は mxy+km2+1 \frac {|mx-y+k|}{\sqrt{m^2+1}} 直線 y=mxky=mx-k 上の点 (x1,y1)(x_1,y_1) に対しては k=mx1y1 k=mx_1-y_1 これを距離の公式に代入すると mx1y1+km2+1=k+km2+1 \frac {|mx_1-y_1+k|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac {|k+k|}{\sqrt{m^2+1}} したがって、二つの平行な直線 y=mx±ky=mx\pm k の間の距離は 2km2+1 \frac {|2k|}{\sqrt{m^2+1}}