二本の平行な直線の間の距離を求める公式の導出
式
$$ d=\frac {|2k|}{\sqrt{m^2+1}} $$
説明
双曲線の接線の問題を解いていると、二つの接線の間の距離を求めることがよくあります。点から直線までの距離を求める公式があるため、それ自体を解くことは難しくありません。しかし、その距離を簡単かつ迅速に計算できる公式を知っていれば、少しでも計算量を減らすことができるでしょう。
導出
二つの平行な直線の方程式を $y=mx\pm k$ とします。ある点 $(x,y)$ から直線 $y=mx+k$ までの距離は $$ \frac {|mx-y+k|}{\sqrt{m^2+1}} $$ 直線 $y=mx-k$ 上の点 $(x_1,y_1)$ に対しては $$ k=mx_1-y_1 $$ これを距離の公式に代入すると $$ \frac {|mx_1-y_1+k|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac {|k+k|}{\sqrt{m^2+1}} $$ したがって、二つの平行な直線 $y=mx\pm k$ の間の距離は $$ \frac {|2k|}{\sqrt{m^2+1}} $$
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