共振とは何か?
定理
任意の命題 $p$、矛盾 $c$、そして $A_{\alpha} \subset X$ について、以下が成立します。
- [1] 空虚真理: $c \implies p$
- [2] 和集合: $\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = \emptyset$
- [3] 共通集合: $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = X$
説明
例えば、「神は死んだ」という言葉で、神が存在しない場合、前提から間違っているとどうなるでしょうか？神が存在しない場合、$0$ の神が死んだことを意味し、誰が本当に死んだか生きているかを問うことなく真となります。同様に、「神は生きている」という言葉も神が存在しない場合、$0$ の存在を確認することであるため、必ず真となります。
このように、前提が矛盾する場合、主張が何であれ関係なく真となります。これを空虚真理や時には恒真と呼びます。もちろん、他にも恒真命題はありますが、中でも $c \implies p$ が最も受け入れがたいものです。集合が与えられたとき、その部分集合を $0$ 個 和集合を取るか 共通集合を取ると考えれば、少しは受け入れやすくなるでしょう。$\displaystyle \sum_{n=0}^{0} n = 0$ を考えれば、もう少し理解しやすくなるはずです。
証明
空虚真理
$p$ が真の場合も偽の場合も、$c \to p$ が真であることを示せばいいです。$x \to y \equiv \lnot ( x \land \lnot y )$ なので $$ c \to p \equiv \lnot ( c \land \lnot p ) $$ $p$ が真であろうと偽であろうと、$c$ との論理積の結果は偽になるため、 $$ \lnot ( c \land \lnot p ) \equiv \lnot c $$ 矛盾 $c$ の否定は常に真であるので、$c \to p$ は $p$ に関係なく真です。
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和集合
全ての $x \in X$ について $\displaystyle x \notin \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha}$ が成立することを示せばいいです。 $$ \begin{align*} x \notin \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} \iff & \lnot \left( x \in \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} \right) \\ \iff & \lnot ( x \in A_{\alpha_{0}} \text{ for some } \alpha_{0} \in \emptyset ) \\ \iff &x \notin A_{\alpha} \text{ for all } \alpha \in \emptyset \\ \iff & \alpha \in \emptyset \to x \notin A_{\alpha} \end{align*} $$ 集合 $\emptyset$ が元を持つということは、空集合の定義に矛盾するので、$\alpha \in \emptyset$ は偽です。[1] 空虚真理によって $\alpha \in \emptyset \to x \notin A_{\alpha}$ は真で、同値な $\displaystyle x \notin \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha}$ も真です。
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共通集合
全ての $x \in X$ について $\displaystyle x \in \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha}$ が成立することを示せばいいです。 $$ \begin{align*} x \in \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} \iff & x \in A_{\alpha} \text{ for all } \alpha \in \emptyset \\ \iff &\alpha \in \emptyset \to x \in A_{\alpha} \end{align*} $$ これも同様に、集合 $\emptyset$ が元を持つということは、空集合の定義に矛盾するので、$\alpha \in \emptyset$ は偽です。[1] 空虚真理によって $\alpha \in \emptyset \to x \in A_{\alpha}$ は真で、同値な $\displaystyle x \in \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} $ も真です。
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