📂抽象代数

抽象代数学における巡回群

定義 ¹

群 $G$ において、ある元 $a$ と任意の $x \in G$ に対して $x = a^{n}$ を満たす整数 $n \in \mathbb{Z}$ が存在する場合、 $G$ を巡回群^{cyclic group}と言い、 $a$ を生成元^generatorという。

説明

簡単に言えば、群のすべての元を生成元のべき乗で表現できる場合、それは巡回群です。「巡回」という表現が非常に適切であることがわかります。これは、すべての元を生成元のべき乗で表現する形式を続けるからです。

定義からすぐにはわかりませんが、すべての巡回群はアーベル群であり、生成元が必ずしも一意ではない。定理[1]がその例である。

さらに、定義によると巡回群が必ずしも有限群である必要はない。注意すべき点は、$n$ が存在するが、自然数ではなく整数であることであり、これは生成元の逆元を加えても構わないという意味です。定理[2]がその例である。

定理

• [1]: $\mathbb{Z}_{4} = \left\{ 0,1,2,3 \right\}$ の生成元は一意ではない。
• [2]: $\mathbb{Z}$ は巡回群である。

証明

[1]

$1$ だけでもすべての元を表現できるが、 $3 \equiv -1 \pmod{4}$ ゆえに、$3$ でもすべての元を表現できる。

したがって、$\left< 1 \right> = \left< 3 \right> = \mathbb{Z}_{4}$ であり、生成元が一意である必要はないことがわかる。

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[2]

$\left< \mathbb{Z} , + \right>$ のすべての元は$1 \cdot n = (-1) \cdot (-n) = n$ として表現できるから、$\mathbb{Z} = \left< 1 \right> = \left< -1 \right>$

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