原子近傍

定義¹

$N$個の原子からなる系があり、$k$番目の原子の位置を$\mathbf{x}_{k} \in \mathbb{R}^{3}$とする。カットオフ半径^{cutoff radius} $r_{c} \gt 0$が与えられているとする。原子$k$から距離$r_{c}$以内にある他の原子を、原子$k$の近傍原子^{neighbor atom}という。

原子$k$から$k$の近傍原子へ向かう相対位置ベクトルの集合を、原子$k$の原子近傍^{atomic neighborhood}という。

$$ \mathcal{N}_{k} = \left\{ \mathbf{u}_{i} \right\}_{i \in \mathcal{I}_{k}}, \qquad \mathbf{u}_{i} = \mathbf{x}_{i} - \mathbf{x}_{k} $$

$$ \mathcal{I}_{k} = \left\{ i : 0 \lt \left| \mathbf{x}_{i} - \mathbf{x}_{k} \right| \le r_{c} \right\} $$

説明

原子近傍は**(局所)原子環境**^{(local) atomic environment}とも呼ばれる。上の定義は名目上の定義であり、必要に応じて添字集合$\mathcal{I}_{k}$を原子近傍と定義することもできるし、各近傍原子の原子番号$Z_{i}$を併せて束ね、$\left\{ \left( \mathbf{u}_{i}, Z_{i} \right) \right\}_{i \in \mathcal{I}_{k}}$を原子近傍とすることもできる。

原子近傍を定義する理由は、原子間ポテンシャルの局所性の仮定のためである。系の全エネルギーを、原子ごとにその近傍だけを見て定まるエネルギーの和で近似するという仮定であり、この仮定の下では原子一つのエネルギーを計算する際に原子近傍だけを見ればよいので、計算量が原子数$N$に比例する。コーン・シャム密度汎関数理論の計算の計算量が$N^{3}$に比例するのとは対照的である。したがって原子近傍は、原子間ポテンシャル、原子記述子、原子グラフニューラルネットワークが共通して入力として受け取る基本単位となる。

$$ E_{\text{tot}} = E_{1} + E_{2} + \cdots E_{N} $$

グラフ構造

各原子を頂点、互いに近傍である原子の対を辺と見れば、原子系をグラフとして表すことができる。

$$ V = \left\{ 1, \dots, N \right\}, \qquad E = \left\{ \left\{ i, k \right\} : 0 \lt \left| \mathbf{x}_{i} - \mathbf{x}_{k} \right| \le r_{c} \right\} $$

距離は対称なので、$i \in \mathcal{I}_{k}$ならば$k \in \mathcal{I}_{i}$であり、このグラフは無向グラフである。原子$k$の近傍原子の数$\left| \mathcal{I}_{k} \right|$は頂点$k$の次数に等しい。

同値関係

原子近傍の元に番号を付けて$\mathcal{N} = (\mathbf{u}_{1}, \dots, \mathbf{u}_{n})$のように並べよう。近傍原子の数が$n$で等しい二つの原子近傍$\mathcal{N}$、$\mathcal{N}^{\prime} = (\mathbf{u}_{1}^{\prime}, \dots, \mathbf{u}_{n}^{\prime})$に対して、ある直交行列 $Q \in \operatorname{O}(3)$と置換 $\sigma \in S_{n}$が存在して次を満たすとき、$\mathcal{N} \sim \mathcal{N}^{\prime}$と書き、同値であるという。

$$ \mathbf{u}_{i}^{\prime} = Q\mathbf{u}_{\sigma(i)},\quad \forall i = 1, \dots, n $$

$\mathcal{N} \sim \mathcal{N}^{\prime}$は、二つの原子近傍が座標系の選び方と原子への番号の付け方だけが異なり、物理的には同じ原子環境であるという意味である。したがって原子近傍を入力として受け取る関数、例えば🔒(26/11/07)原子間ポテンシャルや🔒(26/11/19)原子記述子は、同じ同値類に属する原子近傍に同じ値を与えなければならない。

原子近傍

定義1

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グラフ構造

同値関係

関連リンク

定義¹