根と係数の関係
定理
体$F$上の$n$次多項式を以下のように表す。係数$a_{0}, \dots, a_{n}$は$F$の元であり、$a_{n} \ne 0$である。
$$ f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0} \in F[x], \qquad a_{n} \ne 0 $$
$f(x)$が$F$の拡大体$E$上で次のように（重根を含めて）$1$次式の積に分解されるとしよう。
$$ f(x) = a_{n} (x - r_{1})(x - r_{2}) \cdots (x - r_{n}), \qquad r_{1}, \dots, r_{n} \in E $$
すると$k$番目の基本対称多項式$e_{k}$に対して次が成り立ち、これを根と係数の関係relation between roots and coefficientsあるいはビエトの公式Vieta formulasという。
$$ e_{k}(r_{1}, \dots, r_{n}) = (-1)^{k} \frac{a_{n-k}}{a_{n}}, \qquad k = 1, \dots, n \tag{1} $$
説明
基本対称多項式$e_{k}(r_{1}, \dots, r_{n})$は、$r_{1}, \dots, r_{n}$の中から$k$個を選んで掛けたものの和である。例えば$n = 3$ならば
$$ \begin{align*} (k = 1) \quad e_{1}(r_{1}, r_{2}, r_{3}) &= r_{1} + r_{2} + r_{3} \\ (k = 2) \quad e_{2}(r_{1}, r_{2}, r_{3}) &= r_{1}r_{2} + r_{1}r_{3} + r_{2}r_{3} \\ (k = 3) \quad e_{3}(r_{1}, r_{2}, r_{3}) &= r_{1}r_{2}r_{3} \end{align*} $$
つまり$k = 1$のときはすべてを足したもの、$k = n$のときはすべてを掛けたものになる。
$$ r_{1} + r_{2} + \cdots + r_{n} = -\frac{a_{n-1}}{a_{n}}, \qquad r_{1} r_{2} \cdots r_{n} = (-1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}} $$
証明
戦略: $\prod_{i=1}^{n}(x - r_{i})$を展開したとき、$x^{n-k}$の係数が$(-1)^{k}e_{k}$であることを示し、これを$f$の係数と比較する。
$n$個の因子$(x - r_{1}), \dots, (x - r_{n})$を掛けて展開するということは、各因子から$x$または$-r_{i}$のいずれか一方を選んで掛けたものをすべて足し合わせるということである。このとき$x^{n-k}$が現れるためには、$k$個の因子からは$-r_{i}$を、残りの$n-k$個の因子からは$x$を選ばなければならない。$-r_{i}$を選んだ因子の番号が$i_{1}, \dots, i_{k}$ならば、その項は次のようになる。
$$ (-r_{i_{1}}) \cdots (-r_{i_{k}}) \cdot x^{n-k} = (-1)^{k} r_{i_{1}} \cdots r_{i_{k}} x^{n-k} $$
可能なすべての選び方についてこれらの項を足し合わせると、$x^{n-k}$の係数は、$r_{1}, \dots, r_{n}$の中から$k$個を選んで掛けたものの和に$(-1)^{k}$を掛けたもの、すなわち$(-1)^{k}e_{k}(r_{1}, \dots, r_{n})$である。したがって次が成り立つ。ただし$e_{0} = 1$である。
$$ \prod_{i=1}^{n}(x - r_{i}) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} e_{k}(r_{1}, \dots, r_{n}) x^{n-k} \tag{2} $$
$f(x)$は以下の左辺、右辺のように表される。
$$ \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} = f(x) = a_{n} \prod_{i=1}^{n}(x - r_{i}) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} a_{n} e_{k}(r_{1}, \dots, r_{n}) x^{n-k} $$
左辺と右辺の多項式は互いに等しいので、各次数ごとに係数が等しい。$x^{n-k}$の係数を比較すると次のようになる。
$$ a_{n-k} = (-1)^{k} a_{n} e_{k}(r_{1}, \dots, r_{n}) $$
$a_{n} \ne 0$なので、両辺を$a_{n}$で割れば$(1)$を得る。
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系
(a) 2次方程式の根と係数の関係: $a \ne 0$のとき、$ax^{2} + bx + c = 0$の二つの根$r_{1}$、$r_{2}$に対して次が成り立つ。
$$ r_{1} + r_{2} = -\frac{b}{a}, \qquad r_{1}r_{2} = \frac{c}{a} $$
(b) 3次方程式の根と係数の関係: $a \ne 0$のとき、$ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0$の三つの根$r_{1}$、$r_{2}$、$r_{3}$に対して次が成り立つ。
$$ r_{1} + r_{2} + r_{3} = -\frac{b}{a}, \qquad r_{1}r_{2} + r_{2}r_{3} + r_{3}r_{1} = \frac{c}{a}, \qquad r_{1}r_{2}r_{3} = -\frac{d}{a} $$