パウリ行列
定義
以下の三つの$2 \times 2$複素行列をパウリ行列Pauli matrixという。
$$ \sigma_{1} = \sigma_{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \sigma_{2} = \sigma_{y} = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \quad \sigma_{3} = \sigma_{z} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \tag{1} $$
説明
以下の性質**(c)**により、代数的には$\mathfrak{su}(2)$の基底となり、物理学的にはスピン演算子を記述するのに用いられる。
性質
(a) ユニタリ行列であり、かつエルミート行列である。$I$は単位行列である。
$$ \sigma_{i}^{\ast}\sigma_{i} = I, \quad \sigma_{i}^{\ast} = \sigma_{i} $$
ユニタリかつエルミートであるので、次が成り立つ。
$$ \sigma_{i}^{2} = I $$
$$ \det (\sigma_{i}) = -1, \quad \tr (\sigma_{i}) = 0 $$
また、エルミート行列の固有値は実数であり、行列式は固有値の積であるので、パウリ行列の固有値は$\pm 1$である。
(c) パウリ行列は以下のように表すことができる。
$$ \sigma_{i} = \begin{bmatrix} \delta_{i3} & \delta_{i1} - i\delta_{i2} \\ \delta_{i1} + i\delta_{i2} & -\delta_{i3} \end{bmatrix} $$
ここで$\delta_{ij}$はクロネッカーのデルタである。
(d) 次が成り立つ。以下ではアインシュタインの記法を用いる。
$$ \sigma_{i}\sigma_{j} = \delta_{ij}I + i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} $$
$\epsilon_{ijk}$はレビ・チビタ記号である。
(e) 以下の交換関係が成り立つ。
$$ \left[ \sigma_{i}, \sigma_{j} \right] = 2i\epsilon_{ijk} \sigma_{k},\qquad \left\{ \sigma_{i}, \sigma_{j} \right\} = 2\delta_{ij}I $$
証明
(a)
エルミートであることは$(1)$を見れば自明である。次が満たされるのでユニタリである。
$$ \begin{align*} \sigma_{1}^{\ast}\sigma_{1} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\[1em] \sigma_{2}^{\ast}\sigma_{2} &= \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\[1em] \sigma_{3}^{\ast}\sigma_{3} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*} $$
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(c)
次が成り立つ。
$$ \begin{align*} \begin{bmatrix} \delta_{{\color{red}1}3} & \delta_{{\color{red}1}1} - i\delta_{{\color{red}1}2} \\ \delta_{{\color{red}1}1} + i\delta_{{\color{red}1}2} & -\delta_{{\color{red}1}3} \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \sigma_{1} \\[1em] \begin{bmatrix} \delta_{{\color{red}2}3} & \delta_{{\color{red}2}1} - i\delta_{{\color{red}2}2} \\ \delta_{{\color{red}2}1} + i\delta_{{\color{red}2}2} & -\delta_{{\color{red}2}3} \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} = \sigma_{2} \\[1em] \begin{bmatrix} \delta_{{\color{red}3}3} & \delta_{{\color{red}3}1} - i\delta_{{\color{red}3}2} \\ \delta_{{\color{red}3}1} + i\delta_{{\color{red}3}2} & -\delta_{{\color{red}3}3} \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \sigma_{3} \end{align*} $$
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(d)
**(c)**の公式を用いる。便宜のため、次のようにおく。
$$ u_{i} = \delta_{i1} + i\delta_{i2} \implies \sigma_{i} = \begin{bmatrix} \delta_{i3} & \overline{u_{i}} \\ u_{i} & -\delta_{i3} \end{bmatrix} $$
すると$\sigma_{i}\sigma_{j}$は次のようになる。
$$ \sigma_{i}\sigma_{j} = \begin{bmatrix} \delta_{i3} & \overline{u_{i}} \\ u_{i} & -\delta_{i3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \delta_{j3} & \overline{u_{j}} \\ u_{j} & -\delta_{j3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_{i3}\delta_{j3} + \overline{u_{i}}u_{j} & \delta_{i3}\overline{u_{j}} - \overline{u_{i}}\delta_{j3} \\ u_{i}\delta_{j3} - \delta_{i3}u_{j} & u_{i}\overline{u_{j}} + \delta_{i3}\delta_{j3} \end{bmatrix} $$
ここで$\overline{u_{i}}u_{j}$は以下のようになる。
$$ \begin{align*} \overline{u_{i}}u_{j} &= (\delta_{i1} - i\delta_{i2})(\delta_{j1} + i\delta_{j2}) \\ &= \delta_{i1}\delta_{j1} + \delta_{i2}\delta_{j2} + i\left( \delta_{i1}\delta_{j2} - \delta_{i2}\delta_{j1} \right) \\ &= \delta_{i1}\delta_{j1} + \delta_{i2}\delta_{j2} + i\epsilon_{ij3} \end{align*} $$ $$ \begin{align*} u_{i}\overline{u_{j}} &= (\delta_{i1} + i\delta_{i2})(\delta_{j1} - i\delta_{j2}) \\ &= \delta_{i1}\delta_{j1} + \delta_{i2}\delta_{j2} + i\left( \delta_{i2}\delta_{j1} - \delta_{i1}\delta_{j2} \right) \\ &= \delta_{i1}\delta_{j1} + \delta_{i2}\delta_{j2} - i\epsilon_{ij3} \end{align*} $$
最後の等号はレビ・チビタ記号の性質 $\epsilon_{ij3} = \delta_{i1}\delta_{j2} - \delta_{i2}\delta_{j1}$によって成り立つ。すると$1$行$1$列成分は以下のように整理される。
$$ \begin{align*} \delta_{i3}\delta_{j3} + \overline{u_{i}}u_{j} &= \delta_{i1}\delta_{j1} + \delta_{i2}\delta_{j2} + \delta_{i3}\delta_{j3} + i\epsilon_{ij3} = \delta_{ij} + i\epsilon_{ij3} \\ u_{i}\overline{u_{j}} + \delta_{i3}\delta_{j3} &= \delta_{i1}\delta_{j1} + \delta_{i2}\delta_{j2} + \delta_{i3}\delta_{j3} - i\epsilon_{ij3} = \delta_{ij} - i\epsilon_{ij3} \end{align*} $$
ここではクロネッカーのデルタの性質 $\delta_{ik}\delta_{jk} = \delta_{ij}$が用いられた。非対角成分も同じ方法で得られる。$1$行$2$列を見よう。
$$ \begin{align*} \delta_{i3}\overline{u_{j}} - \overline{u_{i}}\delta_{j3} &= \delta_{i3}(\delta_{j1} - i\delta_{j2}) - (\delta_{i1} - i\delta_{i2})\delta_{j3} \\ &= \left( \delta_{i3}\delta_{j1} - \delta_{i1}\delta_{j3} \right) - i\left( \delta_{i3}\delta_{j2} - \delta_{i2}\delta_{j3} \right) \\ &= \epsilon_{ij2} + i\epsilon_{ij1} \end{align*} $$
$2$行$1$列は$1$行$2$列の共役であるので、$\sigma_{i}\sigma_{j}$は次のようになる。
$$ \begin{align*} \sigma_{i}\sigma_{j} &= \begin{bmatrix} \delta_{ij} + i\epsilon_{ij3} & \epsilon_{ij2} + i\epsilon_{ij1} \\ -\epsilon_{ij2} + i\epsilon_{ij1} & \delta_{ij} - i\epsilon_{ij3} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \delta_{ij} + i\epsilon_{ijk}\delta_{k3} & \epsilon_{ijk}\delta_{k2} + i\epsilon_{ijk}\delta_{k1} \\ -\epsilon_{ijk}\delta_{k2} + i\epsilon_{ijk}\delta_{k1} & \delta_{ij} - i\epsilon_{ijk}\delta_{k3} \end{bmatrix} \\ &= \delta_{ij}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + i\epsilon_{ijk}\begin{bmatrix} \delta_{k3} & \delta_{k1} - i\delta_{k2} \\ \delta_{k1} + i\delta_{k2} & -\delta_{k3} \end{bmatrix} \\ &= \delta_{ij}I + i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} \end{align*} $$
このとき二番目の等号では公式 $\epsilon_{ijk}\delta_{k\ell} = \epsilon_{ij\ell}$が用いられた。
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(e)
**(d)**で$i$と$j$を入れ替えてみよう。レビ・チビタ記号は二つの添字を入れ替えると符号が変わるので$\epsilon_{jik} = -\epsilon_{ijk}$であり、クロネッカーのデルタは$\delta_{ji} = \delta_{ij}$である。
$$ \sigma_{j}\sigma_{i} = \delta_{ji}I + i\epsilon_{jik}\sigma_{k} = \delta_{ij}I - i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} $$
**(d)**からこの式を引けば交換子に、足せば反交換子になり、それぞれ片方の項だけが残る。
$$ \begin{align*} \left[ \sigma_{i}, \sigma_{j} \right] &= \sigma_{i}\sigma_{j} - \sigma_{j}\sigma_{i} = \left( \delta_{ij}I + i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} \right) - \left( \delta_{ij}I - i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} \right) = 2i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} \\[1em] \left\{ \sigma_{i}, \sigma_{j} \right\} &= \sigma_{i}\sigma_{j} + \sigma_{j}\sigma_{i} = \left( \delta_{ij}I + i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} \right) + \left( \delta_{ij}I - i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} \right) = 2\delta_{ij}I \end{align*} $$
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