📂表現論

絡作用素

定義¹

$G$を群、$(\rho, V)$と$(\zeta, W)$をその表現とする。次を満たす線形写像 $\phi : V \to W$を$\rho$と$\zeta$の絡作用素^{intertwining map}という。

$$ \phi\left( \rho[g] v \right) = \zeta[g] \phi(v), \quad \forall g \in G,\enspace \forall v \in V $$

$\phi$が可逆関数であるとき、$\phi$を同型写像^isomorphismといい、二つの表現$\rho$と$\zeta$は互いに同型^isomorphicであるという。

• リー代数の表現についても同様に定義する。

説明

一言でいえば、線形な同変写像を特に絡作用素と呼ぶと理解すればよい。変換$\rho(g)$と$\zeta(g)$を簡単に$g = \rho(g) = \zeta(g)$と表記すると、絡作用素とは群$G$からの作用と可換な写像であることがよくわかる。

$$ g \phi(v) = \phi(gv) $$

定理

$G$を連結な行列リー群とする。$\Pi_{1}$、$\Pi_{2}$を$G$の表現とする。$\pi_{1}$、$\pi_{2}$を$G$のリー代数の表現とする。このとき、$\pi_{1}$と$\pi_{2}$が同型であるための必要十分条件は、$\Pi_{1}$と$\Pi_{2}$が同型であることである。

$$ \text{$\pi_{1}$ and $\pi_{2}$ are isomorphic $\iff$ $\Pi_{1}$ and $\Pi_{2}$ are isomorphic} $$