行列の特性多項式
定義
体$F$上の正方行列$A \in M_{n\times n}(F)$に対して、次のような変数$\lambda$についての多項式を$A$の特性多項式characteristic polynomialという。
$$ p(\lambda) := \det(A - \lambda I) $$
説明
$p(\lambda) = 0$の根がまさに$A$の固有値であるから、固有値を求めることは特性多項式の根を求めることにほかならない。$p$は$\lambda$についての$n$次多項式であり、最高次項は$(-1)^{n}\lambda^{n}$である。
$n \ge 3$であれば、下の**(a)**のように係数がトレースと行列式だけで決まるわけではない。
性質
(a) $2 \times 2$行列$A$の特性多項式は次のとおりである。
$$ \det(A - \lambda I) = \lambda^{2} - (\operatorname{tr} A)\lambda + \det A $$
ここで$\det$は行列式、$\operatorname{tr}$はトレースである。
(b) $n \times n$行列$A$の最高次項の係数が$1$である特性多項式は次のとおりである。
$$ (-1)^{n}\det(A - \lambda I) = \det(\lambda I - A) = \lambda^{n} - (\tr A) \lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^{n}\det A $$
証明
(a)
$A$を次のようにおく。
$$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$
すると直接計算により次を得る。
$$ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{vmatrix} = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc = \lambda^{2} - (a + d)\lambda + (ad - bc) $$
このとき$a + d = \operatorname{tr} A$かつ$ad - bc = \det A$であるから、結論を得る。
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(b)
$n \times n$行列$A$の固有値を代数的重複度を込めて$\lambda_{1}, \dots, \lambda_{n}$とする。固有値は特性方程式$\det(\lambda I - A) = 0$の根であるから、特性多項式は次のように因数分解される。
$$ \det(\lambda I - A) = (\lambda - \lambda_{1})(\lambda - \lambda_{2}) \cdots (\lambda - \lambda_{n}) $$
右辺を展開するとき、$\lambda^{n-1}$の項は$n$個の因数のうち一つから$-\lambda_{i}$を、残りから$\lambda$を選んだものの和であり、定数項はすべての因数から$-\lambda_{i}$を選んだものである。したがって次のようになる。
$$ \det(\lambda I - A) = \lambda^{n} - \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \right) \lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^{n} \prod_{i=1}^{n} \lambda_{i} $$
一方、$\tr(A) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}$, $\det(A) = \prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}$が成り立つので、次を得る。
$$ (-1)^{n}\det(A - \lambda I) = \det(\lambda I - A) = \lambda^{n} - (\tr A) \lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^{n}\det A $$
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