📂表現論

キリング形式

定義¹

有限次元リー代数$\mathfrak{g}$上で次のように定義される対称双線形形式$B$をキリング形式^{Killing form}という。

$$ B(X, Y) = \trace(\ad_{X} \circ \ad_{Y}) \tag{1} $$

ここで$\trace$は線形変換のトレース、$\ad_{X} : \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$は次のように定義される線形写像である。

$$ \ad_{X}(Y) = [X, Y]_{\mathfrak{g}} $$

説明

大文字の$K$が使われていることからわかるように、Killingは人名である。ドイツの数学者ヴィルヘルム・キリング^{Wilhelm Karl Joseph Killing}にちなむ。

ベクトル空間に内積が与えられると、それを二つのベクトル同士の類似性を比較する類似度関数の構成に使ったり、二つのベクトル間の幾何学的関係をスカラー値で表したりと、さまざまな方面に活用できる。しかしリー代数$\mathfrak{g}$には内積は与えられておらず、ブラケット$[\cdot,\cdot]$だけが与えられている。ところが、ここで前の変数を固定すると$\ad = [X, \cdot]$という線形変換になる。したがって、リー代数の元$X, Y$にそれぞれ対応する二つの線形変換$\ad_{X}$、$\ad_{Y}$を用いて、次のような写像を考えることができる。

$$ (X, Y) \mapsto \trace(\ad_{X} \circ \ad_{Y}) $$

これは$\ad_{X}$と$\trace$の線形性により双線形であり、トレースの性質により対称である。

$$ \trace(AB) = \trace(BA) $$

このように、キリング形式はリー代数のブラケットから自然に得られる対称双線形形式である。また、下の定理が示すように、キリング形式によって$\mathfrak{g}$が半単純かどうかを判定できる。

性質

(a) 任意の$X$に対して、$\ad_{X}$は$B$に関して反対称である。 $$ B(\ad_{X}(Y), Z) = - B(Y, \ad_{X}(Z)), \quad \forall Y, Z \in \mathfrak{g} $$

(b) $\mathfrak{g}$のブラケットに関して不変である。 $$ B([X, Y]_{\mathfrak{g}}, Z) = B(X, [Y, Z]_{\mathfrak{g}}) $$

定理

$B$が非退化^{nondegenerate}であるとは、すべての$X \in \mathfrak{g}\setminus\left\{ 0 \right\}$に対して次を満たす$Y \in \mathfrak{g}$が存在することである。

$$ B(X, Y) \ne 0 $$

$\mathbb{R}$または$\mathbb{C}$上の有限次元リー代数$\mathfrak{g}$について、$\mathfrak{g}$が半単純であることは$B$が非退化であることと同値である。

$$ \text{$B$ is nondegenerate $\iff$ $\mathfrak{g}$ is semisimple} $$

これをカルタンの判定法^{Cartan’s criterion}という。

証明

便宜のため、ブラケットの下付き添字を省略して$[\cdot, \cdot] = [\cdot, \cdot]_{\mathfrak{g}}$のように表す。

性質 (a)

$\ad$がリー代数準同型写像であること、すなわち次が成り立つことを利用する。

$$ \ad_{[X, Y]} = \ad_{X} \circ \ad_{Y} - \ad_{Y} \circ \ad_{X} $$

示すべき等式の左辺をキリング形式の定義$(1)$に従って展開すると次のようになる。

$$ \begin{align*} B(\ad_{X}(Y), Z) &= B([X, Y], Z) \\ &= \trace\left( \ad_{[X, Y]} \circ \ad_{Z} \right) \\ &= \trace\left( \ad_{X} \circ \ad_{Y} \circ \ad_{Z} \right) - \trace\left( \ad_{Y} \circ \ad_{X} \circ \ad_{Z} \right) \end{align*} $$

右辺も同じ方法で展開する。

$$ \begin{align*} - B(Y, \ad_{X}(Z)) &= - B(Y, [X, Z]) \\ &= - \trace\left( \ad_{Y} \circ \ad_{[X, Z]} \right) \\ &= - \trace\left( \ad_{Y} \circ \ad_{X} \circ \ad_{Z} \right) + \trace\left( \ad_{Y} \circ \ad_{Z} \circ \ad_{X} \right) \end{align*} $$

二つの展開に共通して現れる$- \trace\left( \ad_{Y} \circ \ad_{X} \circ \ad_{Z} \right)$を消去すれば、残りの項同士が等しいことだけを確認すればよい。トレースの巡回性$\trace(ST) = \trace(TS)$により次が成り立つ。

$$ \trace\left( \ad_{X} \circ \ad_{Y} \circ \ad_{Z} \right) = \trace\left( \ad_{Y} \circ \ad_{Z} \circ \ad_{X} \right) $$

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性質 (b)

性質**(a)**の$X$の位置に$Y$を、$Y$の位置に$X$を入れると$B(\ad_{Y}(X), Z) = - B(X, \ad_{Y}(Z))$である。これにブラケットの反対称性$[Y, X] = -[X, Y]$を合わせて用いると、次を得る。

$$ \begin{align*} B([X, Y], Z) &= - B([Y, X], Z) \\ &= - B(\ad_{Y}(X), Z) \\ &= B(X, \ad_{Y}(Z)) \\ &= B(X, [Y, Z]) \end{align*} $$

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