📂表現論

リー代数の表現

定義¹

$\mathfrak{g}$をリー代数、$V$をベクトル空間とする。$\mathfrak{g}$から一般線形リー代数$\mathfrak{gl}(V)$へのリー代数準同型写像$\pi$を$\mathfrak{g}$の表現^{representation}という。

$$ \pi : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V) $$

• このような$V$を表現空間^{representation space}という。

説明

表現は準同型写像として定義されるので、$\mathfrak{g}$の交換関係が$\mathfrak{gl}(V)$に保存される。

$$ \pi \left( \left[ X, Y \right]_{\mathfrak{g}} \right) = \left[ \pi(X), \pi(Y) \right]_{\mathfrak{gl}(V)} $$

これは構造定数が保存されるということでもある。$[X_{i}, X_{j}] = c_{ij}^{k}X_{k}$とすると、次が成り立つ。

$$ [\pi(X_{i}), \pi(X_{j})] = c_{ij}^{k}\pi(X_{k}) $$

不変表現

$V$の部分空間$W$が次を満たすとき、$\pi$-不変^{invariant under $\pi$}という。

$$ \pi(X) (W) \subset W, \quad \forall X \in \mathfrak{g} $$

$W$内のすべてのベクトルは、どのような変換$\pi(X)$によっても$W$の外へ写されないという意味である。

既約表現

ベクトル空間$V$の部分空間$\left\{ \mathbf{0} \right\}$と$V$はどのような変換に対しても常に不変であるので、これを自明な^trivial不変部分空間という。表現$\pi : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)$が自明な不変部分空間のみを持つとき、既約(約分不可能)^irreducibleであるという。