📂線形代数

同時対角化

定義¹

$V$を有限次元のベクトル空間、$\mathcal{A}$を$V$上の線形作用素のコレクションとする。

$$ \mathcal{A} = \left\{ A : V \to V \mid A \text{ is linear and }\right\} \subset \operatorname{End}(V) $$

$\mathcal{A}$の同時固有ベクトル $v_{k}$のみからなる$V$の基底 $\left\{ v_{1}, \dots, v_{n} \right\}$が存在するとき、$\mathcal{A}$は同時対角化可能^{simultaneously diagonalizable}であるという。

説明

$\mathcal{A}$が同時対角化可能であるということは、同時固有ベクトルが少なくとも一つ存在するということであり、したがって$\mathcal{A}$の元は互いに交換可能である。下の定理1は逆に、それぞれが対角化可能であって互いに交換可能ならば同時対角化可能であることを述べている。定理2は異なる固有値をもつ固有ベクトルは線形独立であるという命題の拡張である。

$\mathcal{A}$がベクトル空間であれば、$\mathcal{A}$が同時対角化可能であるということは、$V$が$\mathcal{A}$のウェイト空間の直和に分解できるということと同値である。一つの線形変換についても対角化可能であることが固有空間の直和として表されることと同値であるのと同じである。

$$ \mathcal{A} \text{ is simultaneously diagonalizable. } \iff V = E_{\mu_{1}} \oplus \cdots \oplus E_{\mu_{k}} $$

定理

• 定理1

  $\mathcal{A}$を有限次元ベクトル空間$V$上の線形作用素のコレクションとする。$\mathcal{A}$の元が互いに交換可能であり、それぞれが対角化可能であれば、$\mathcal{A}$は同時対角化可能である。

• 定理2

  $V$をベクトル空間、$\mathcal{A} \le \operatorname{End}(V)$を$V$上の線形作用素のベクトル空間とする。$\mu_{1}, \dots, \mu_{m}$を互いに異なる$\mathcal{A}$のウェイト、そして$v_{1}, \dots, v_{m}$をこれに対応する同時固有ベクトルとする。すると$\left\{ v_{1}, \dots, v_{m} \right\}$は線形独立である。