📂表現論

2次特殊線形リー代数 sl(2,C)

定義

トレースが$0$である$2 \times 2$複素行列の集合は、特殊線形群$\operatorname{SL}(2, \mathbb{C})$のリー代数である。

$$ \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) = \left\{ A \in M_{2}(\mathbb{C}) : \trace(A) = 0 \right\} $$

説明

$\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$は特殊線形リー代数$\mathfrak{sl}(n, \mathbb{C})$において$n = 2$の場合であり、$3$次元の$\mathbb{C}$-ベクトル空間である。2次特殊ユニタリーリー代数$\mathfrak{su}(2)$の複素化でもある。

代数構造¹

基底と交換関係

$A \in \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$の条件を通じて、基底が実際にどのような形をしているか調べてみよう。条件はトレースが$0$であることだけなので、$a_{22} = -a_{11}$である。したがって$\mathfrak{sl}(2)$の元は複素数$\alpha, \beta, \gamma$に対して次のように表されるので、$\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$は3次元$\mathbb{C}$-ベクトル空間である。

$$ A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} + \beta\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \gamma\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

$$ H = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad Y = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

したがって$\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$の基底は$\left\{ H, X, Y \right\}$であり、これらの構造定数を求めると次のようになる。

$$ [H, X] = 2X, \quad [H, Y] = -2Y, \quad [X, Y] = H \tag{1} $$

表現空間の量子化

有限次元$\mathbb{C}$-ベクトル空間$V$と、$\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$から$V$への任意の表現$\pi$が与えられたとしよう。

$$ \pi : \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) \to \operatorname{gl}(V) $$

表現は準同型写像なので、ブラケットが保存される。

$$ \left[ \pi(H), \pi(X) \right] = \pi([H, X]) = 2\pi(X) $$

交換関係$(1)$が意味するのは、$\pi(X)$と$\pi(Y)$が写像$\ad_{H}$の固有ベクトルであるということである。

$$ \ad_{H}(X) = 2X, \quad \ad_{H}(Y) = -2Y $$

また、$\pi(X)$と$\pi(Y)$がベクトル空間$V$上で$\pi(H)$に対するはしご演算子であることを意味する。$v \in V$を固有値$\lambda$に対応する$\pi(H)$の固有ベクトルとしよう。すると次が成り立つ。

$$ \begin{align*} \pi(H)(\pi(X)v) = \left( \pi(X)\pi(H) + 2\pi(X) \right)v = (\lambda + 2)\pi(X)v \\[1em] \pi(H)(\pi(Y)v) = \left( \pi(Y)\pi(H) - 2\pi(Y) \right)v = (\lambda - 2)\pi(Y)v \end{align*} \tag{2} $$

したがって$\pi(X)$は固有値$\lambda$に対応する固有ベクトルを$\lambda+2$に対応する固有ベクトルへ写す上昇演算子であり、$\pi(Y)$はその逆に作用する下降演算子である。固有値$\lambda$に対応する固有空間を$V_{\lambda}$と表記しよう。

$$ \pi(X) : V_{\lambda} \to V_{\lambda+2}, \quad \pi(Y) : V_{\lambda+2} \to V_{\lambda} $$

$\pi(H)$の固有値は、$\pi(X)$と$\pi(Y)$によってすべて$2$ずつ異なるように量子化されている。

表現空間の構造

$(2)$により$\pi(H)\pi(X)^{k}v = (\lambda + 2k)\pi(X)^{k}v$が成り立つ。これは各$k$に対して$\pi(X)^{k}v$が互いに異なる固有値$(\lambda + 2k)$に対応する$\pi(H)$の固有ベクトルであるということであり、これはすなわち$\left\{ \pi(X)^{k}v \right\}$が線形独立であることを意味する。$V$は有限次元なので、線形独立な固有ベクトルの個数もまた有限である。言い換えれば、次を満たすある$N \ge 0$が存在しなければならない。

$$ \pi(X)^{N}v \ne 0, \quad \pi(X)^{N+1}v = 0 $$

ここで、$\pi(X)$によって$0$になる直前のベクトルを$v_{0}$と表そう。これは固有値が$\mu = \lambda + 2N$である$\pi(H)$の固有ベクトルである。

$$ \begin{align*} v_{0} &= \pi(X)^{N}v \\ \pi(H) v_{0} &= \mu v_{0} \\ \pi(X) v_{0} &= 0 \\ \end{align*} $$

$v_{k} = \pi(Y)^{k}v_{0}$としよう。$(2)$により次を得る。

$$ \pi(H) v_{k} = \pi(H)(\pi(Y)^{k}v_{0}) = (\mu - 2k)(\pi(Y)^{k}v_{0}) = (\mu - 2k) v_{k} $$

そして次の漸化式を得ることができる。

$$ \begin{align*} \pi(X) v_{1} &= \pi(X)\pi(Y) v_{0} = \left[ \pi(Y)\pi(X) + \pi(H) \right] v_{0} \\ &= \mu v_{0} \\ &= 1(\mu - 0) v_{0} \\ & \\ \pi(X) v_{2} &= \pi(X)\pi(Y)\pi(Y) v_{0} = \left[ \pi(Y)\pi(X) + \pi(H) \right]\pi(Y) v_{0} \\ &= \left[ \pi(Y)\pi(X)\pi(Y) + \pi(H)\pi(Y) \right] v_{0} \\ &= \left[ \pi(Y)\pi(Y)\pi(X) + \pi(Y)\pi(H) + \pi(H)\pi(Y) \right] v_{0} \\ &= \left[ \mu + (\mu - 2) \right]\pi(Y)v_{0} \\ &= 2(\mu - 1) v_{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \pi(X) v_{3} &= \pi(X)\pi(Y)\pi(Y)\pi(Y) v_{0} = \left[ \pi(Y)\pi(X) + \pi(H) \right]\pi(Y)\pi(Y) v_{0} \\ &= \left[ \pi(Y)\pi(X)\pi(Y)\pi(Y) + \pi(H)\pi(Y)\pi(Y) \right] v_{0} \\ &= \left[ \pi(Y)\left( \pi(Y)\pi(X) + \pi(H) \right)\pi(Y) + \pi(H)\pi(Y)\pi(Y) \right] v_{0} \\ &= \left[ \pi(Y)\pi(Y)\pi(X)\pi(Y) + \pi(Y)\pi(H)\pi(Y) + \pi(H)\pi(Y)\pi(Y) \right] v_{0} \\ &= \left[ \pi(Y)\pi(Y)\pi(Y)\pi(X) + \pi(Y)\pi(Y)\pi(H) + \pi(Y)\pi(H)\pi(Y) + \pi(H)\pi(Y)\pi(Y) \right] v_{0} \\ &= \left[ \mu + (\mu - 2) + (\mu - 4) \right] \pi(Y)\pi(Y)v_{0} \\ &= 3(\mu - 2) v_{2} \\ & \qquad \vdots \end{align*} $$

$$ \pi(X)v_{k} = k(\mu - (k-1))v_{k-1} \quad (k \ge 1) \tag{3} $$

そして$\pi(X)$の場合と同じ理由で、次を満たすある$m \ge 0$が存在しなければならない。

$$ v_{m} = \pi(Y)^{m}v_{0} \ne 0, \quad v_{m+1} = \pi(Y)^{m+1}v_{0} = 0 $$

すると$\pi(X) v_{m+1} = 0$であり、漸化式$(3)$により次を得る。

$$ \pi(X) v_{m+1} = (m+1)(\mu - m)v_{m} = 0 \\[1em] $$

これは、$\pi(X)$によって零ベクトルになる直前の最後の固有ベクトルの固有値である$\mu$が、ある正の整数$m$であることを意味する。さて、以上の結果をまとめると、表現$\pi$に対して固有ベクトル$v_{0}$、$\dots$、$v_{m}$が存在して次が成り立つ。

$$ \begin{align*} \pi(H) v_{k} &= (m -2k)v_{k} \\ \pi(Y) v_{k} &= \begin{cases} v_{k+1} & k \lt m \\ 0 & k = m \end{cases} \\ \pi(X)v_{k} &= \begin{cases} k(m - (k-1))v_{k-1} & k \gt 0 \\ 0 & k = 0 \end{cases} \end{align*} \tag{4} $$

これらの固有値は互いに異なるので、$\left\{ v_{k} \right\}$は線形独立である。$(4)$により、$W = \span\left\{ v_{0}, \dots, v_{m} \right\}$は$\pi(H)$、$\pi(X)$、$\pi(Y)$に対する不変部分空間である。また$\left\{ H, X, Y \right\}$は$\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$の基底であったから、任意の演算子$\pi(Z)$ $(Z \in \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}))$に対しても$W$は不変である。ここで$\pi$が既約表現であれば非自明な不変部分空間を持たないので、$W = V$であり、$\left\{ v_{k} \right\}$は$V$の基底となる。また、$V$は有限次元であるとしか定義しなかったが、$m+1$が$V$の次元であることもわかる。

$$ V = \span \left\{ v_{0}, \dots, v_{m} \right\} \text{ and } \quad \dim V = m+1, \quad \text{if $\pi$ is irreducible} $$

逆に、$\pi(H)$、$\pi(X)$、$\pi(Y)$を$(4)$を満たすように定義すれば、交換関係$(1)$を満たし、$\pi$は$\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$の既約表現となる。

また、$\pi$とは別の表現$\pi^{\prime}$を持ってきても、$\pi^{\prime}$は上と同じ論理で$(4)$を満たし、$\pi$と$\pi^{\prime}$は同型である。

性質

(a) $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$は$\mathfrak{su}(2)$の複素化である。 $$ \mathfrak{su}(2)_{\mathbb{C}} \cong \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) $$

(b) $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$の既約表現が存在する。

(c) $\pi(H)$のすべての固有値は整数である。また、整数$k$が$\pi(H)$の固有値であれば、以下のものもすべて固有値である。

$$ -|k|, -|k|+2, \dots, |k|-2, |k| $$

(d) 演算子$\pi(X)$と$\pi(Y)$は冪零変換である。