📂表現論

普遍性によって定義されるベクトル空間のテンソル積

定義¹

$U$、$V$を有限次元ベクトル空間とする。$U$と$V$のテンソル積^{tensor product}とは、双線形写像^{bilinear map} $\phi : U \times V \to W$とともに与えられたベクトル空間$W$、すなわち次の性質を満たす順序対$(W, \phi)$のことをいう。

• 任意のベクトル空間$X$と任意の双線形写像$\psi : U \times V \to X$に対して、次を満たす線形写像 $\tilde{\psi} : W \to X$が一意に存在する。

  $$ \tilde{\psi} \circ \phi = \psi $$

  $$ \begin{matrix} U \times V & \overset{\phi}{\longrightarrow} & W \\ \psi \searrow & & \swarrow \tilde{\psi} \\ & X & \end{matrix} $$

つまり、簡単に言えば、固定された$\phi$に対して、どのような$(X, \psi)$が与えられても$\tilde{\psi} \circ \phi = \psi$となる線形写像$\tilde{\psi}$がただ一つだけ存在するような$(W, \phi)$が、$U$と$V$のテンソル積である。一般にテンソル積といえば上の定義を満たすベクトル空間$W$のことを指し、(実際に一意であるので)次のように表記する。

$$ W = U \otimes V $$

説明

上の定義はある特定の空間一つを指すものではなく、与えられた対$(W, \phi)$がテンソル積となるための規則を定義したものである。このように、定義しようとする対象の具体的な構造ではなく、写像との関係のみによって記述する条件を普遍性^{universal property}という。

二つのベクトル空間$U$と$V$のベクトルを**"掛けて"**新しいベクトルを作りたいとしよう。積という名に値するためには、少なくとも分配法則が成り立ち、スカラーが積の外に出られなければならない。これは一方の変数を固定して見たとき、残りの変数について線形でなければならないということであり、そのような写像こそが双線形写像である。そのような写像$\psi$はいくらでも作れるだろうが、すべての$\psi$が固定された$\phi$に対して$\psi = \tilde{\psi} \circ \phi$の形に分解できるならば、$\phi$は$U \times V$上で定義される双線形写像の中でも何か根本的なものと呼べるだろう。下の定理によって、このようなテンソル積$\phi$の存在性と一意性が保証される。

構成的定義

テンソル積は上のように普遍性を満たす対象として定義することもできるし、具体的な構造を提示することによって定義することもできる。その構造は有限集合$\Gamma_{1}$、$\Gamma_{2}$に対して直積集合から構成された関数空間であり、これもまたテンソル積と呼ぶ。

$$ \mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}} := \mathbb{C}^{\Gamma_{1} \times \Gamma_{2}} $$

定理

$U$、$V$を有限次元ベクトル空間とする。

(a) 存在性: $U$と$V$のテンソル積$(W, \phi)$が存在する。

(b) 一意性: $U$と$V$のテンソル積は一意である。すなわち$(W_{1}, \phi_{1})$と$(W_{2}, \phi_{2})$がともに$U$と$V$のテンソル積ならば、次を満たす同型写像 $\Phi : W_{1} \to W_{2}$が一意に存在する。

$$ \Phi \circ \phi_{1} = \phi_{2} $$

(c) 基底と次元: $(W, \phi)$が$U$と$V$のテンソル積であり、$\left\{ e_{1}, \dots, e_{n} \right\}$が$U$の基底、$\left\{ f_{1}, \dots, f_{m} \right\}$が$V$の基底ならば、次の集合は$W$の基底である。

$$ \left\{ \phi(e_{j}, f_{k}) : 1 \le j \le n, 1 \le k \le m \right\} $$

したがって、テンソル積の次元は次のようになる。

$$ \dim (U \otimes V) = \dim(U) \times \dim(V) $$

一般に$\phi (e_{j}, f_{k})$を$e_{j} \otimes f_{k}$と表記する。