ベクトル空間の複素化
導入
有限次元$\mathbb{R}$-ベクトル空間$V$と、その上の線形作用素$A : V \to V$が与えられたとする。$A$の作用が定数倍として最も単純になる方向、言い換えれば次を満たすスカラー$\lambda$と$\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$を求めることは固有値問題である。
$$ A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} $$
このとき$V$は有限次元なので、$A$は行列$\left[ A \right]$に対応するが、スカラーの体が実数なので、この行列は実数を成分に持つ。行列$[ A ]$の固有値は特性多項式を解くことで得られるが、$[ A ]$は実数のみを成分に持つため、特性多項式は実数係数の多項式になる。しかし実数体は代数的に閉じていないため、特性多項式の根が実数の中に存在しない、言い換えれば実数の範囲で固有値を求められない場合が存在する。これは対角化ができないことを意味し、固有値分解やスペクトル分析といった道具を実数体上では完全には使えないことを意味する。実数体の拡大体は複素数体であるから、スカラー体を複素数体に広げさえすれば、すべての固有値と固有ベクトルを得ることができる。これをベクトル空間全体に対して実現したものを複素化という。
定義
有限次元$\mathbb{R}$-ベクトル空間$V$と2次元$\mathbb{R}$-ベクトル空間$\mathbb{C}$について、$V$の複素化complexification$V_{\mathbb{C}}$を次のように定義する。
$$ V_{\mathbb{C}} := V \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} $$
ここで$\otimes_{\mathbb{R}}$は、$V$と$\mathbb{C}$を$\mathbb{R}$-ベクトル空間とみなしたテンソル積である。$\mathbb{C}$を$\mathbb{R}$-ベクトル空間とみなすと$2$次元なので、$V \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$は次元が$2 \dim V$の$\mathbb{R}$-ベクトル空間である。ここに複素数のスカラー倍を次のように与えると$\mathbb{C}$-ベクトル空間になる。
$$ \alpha \cdot (\mathbf{v} \otimes z) := \mathbf{v} \otimes (\alpha z), \qquad \alpha, z \in \mathbb{C} $$
簡単な定義
有限次元$\mathbb{R}$-ベクトル空間$V$について、次の集合を$V$の複素化complexification$V_{\mathbb{C}}$という。
$$ V_{\mathbb{C}} = \left\{ \mathbf{v} + i\mathbf{w} : \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V \right\} $$
加法とスカラー倍はそれぞれ次のように定義する。
$$ (\mathbf{v}_{1} + i\mathbf{w}_{1}) + (\mathbf{v}_{2} + i\mathbf{w}_{2}) := (\mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}) + i(\mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2}) $$
$$ (a + bi)(\mathbf{v} + i\mathbf{w}) := (a\mathbf{v} - b\mathbf{w}) + i(a\mathbf{w} + b\mathbf{v}) $$
ここで$\mathbf{v} + i\mathbf{w}$の$i$は二つのベクトルを並べて書くための形式的な記号にすぎず、スカラー倍はこの記号について$i^{2} = -1$が成り立つように定義したものである。
説明
二つの定義は同じ空間を指している。$\mathbb{C}$の$\mathbb{R}$-基底は$\left\{ 1, i \right\}$なので、$V \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$の元はすべて$\mathbf{v} \otimes 1$の形と$\mathbf{v} \otimes i$の形の和で書けるが、これを次のように対応させればよい。
$$ \mathbf{v} \otimes 1 \longleftrightarrow \mathbf{v} + i\mathbf{0}, \qquad \mathbf{v} \otimes i \longleftrightarrow \mathbf{0} + i\mathbf{v} $$
一般には次のように対応する。
$$ \mathbf{v} \otimes (a + bi) \longleftrightarrow a\mathbf{v} + i(b\mathbf{v}) $$
次元
$\left\{ \mathbf{e}_{1}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\}$を$V$の$\mathbb{R}$-基底とする。$\mathbf{v} = \sum_{k} a_{k}\mathbf{e}_{k}$、$\mathbf{w} = \sum_{k} b_{k}\mathbf{e}_{k}$ならば、$V_{\mathbb{C}}$の元は次のように一意に表される。
$$ \mathbf{v} + i\mathbf{w} = \sum_{k=1}^{n} (a_{k} + i b_{k}) \mathbf{e}_{k} $$
すなわち$V$の実基底がそのまま$V_{\mathbb{C}}$の複素基底になるので、次が成り立つ。
$$ \dim_{\mathbb{C}} V_{\mathbb{C}} = \dim_{\mathbb{R}} V = n, \qquad \dim_{\mathbb{R}} V_{\mathbb{C}} = 2n $$
線形作用素の複素化
$\mathbb{R}$-線形変換$A : V \to V$について、次のように定義される$A_{\mathbb{C}} : V_{\mathbb{C}} \to V_{\mathbb{C}}$を$A$の複素化という。
$$ A_{\mathbb{C}}(\mathbf{v} + i\mathbf{w}) := A\mathbf{v} + i(A\mathbf{w}) $$
$A_{\mathbb{C}}$が$\mathbb{C}$-線形であることは定義に従ってそのまま確かめられる。さらに$V$の実基底$\left\{ \mathbf{e}_{1}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\}$をそのまま$V_{\mathbb{C}}$の複素基底として使うと$A_{\mathbb{C}}\mathbf{e}_{k} = A\mathbf{e}_{k}$なので、この基底に関する行列表現は$A$のものと同じである。
$$ \left[ A_{\mathbb{C}} \right] = \left[ A \right] $$
したがって二つの作用素の特性多項式も同じである。違うのはその多項式をどの体で解くかだけであり、今や代数学の基本定理により根が常に存在するので、$A_{\mathbb{C}}$は常に固有値を持つ。
特性多項式は実係数なので、実数でない固有値は共役の組で現れる。固有ベクトルも同様であり、$A_{\mathbb{C}}$は共役と可換なので、$A_{\mathbb{C}}\mathbf{z} = \lambda\mathbf{z}$の両辺の共役をとると次を得るからである。
$$ A_{\mathbb{C}}\overline{\mathbf{z}} = \overline{A_{\mathbb{C}}\mathbf{z}} = \overline{\lambda\mathbf{z}} = \overline{\lambda}\overline{\mathbf{z}} $$