📂表現論

特殊直交リー代数

定義¹

$X^{\mathsf{T}} = - X$を満たすすべての$n \times n$実行列の集合は、直交群$\operatorname{O}(n)$と特殊直交群$\operatorname{SO}(n)$のリー代数である。

$$ \mathfrak{so}(n) = \mathfrak{o}(n) = \left\{ X \in M_{n}(\mathbb{R}) : X^{\mathsf{T}} = - X \right\} $$

ここで$X^{\mathsf{T}}$は$X$の転置行列を意味する。性質$X^{\mathsf{T}} = - X$を反対称^{anti-symmetric}という。

説明

上の内容は定義でもあり定理でもある。行列リー群のリー代数の定義により、$\operatorname{O}$と$\operatorname{SO}$のリー代数の定義はそれぞれ次のとおりである。

$$ \begin{align*} \mathfrak{o} &= \left\{ X : e^{tX} \in \operatorname{O} \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ \mathfrak{so} &= \left\{ X : e^{tX} \in \operatorname{SO} \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \end{align*} $$

定義が述べているのは、すべての反対称行列の集合が$\mathfrak{o}$と$\mathfrak{so}$になり、この二つが互いに等しいということである。表記としては$\mathfrak{so}(n)$の方がよく使われる。

$$ \mathfrak{so}(n) = \mathfrak{o}(n) $$

証明

• $e^{tX}$が直交行列ならば、$X$は反対称である。

  まず$e^{tX}$が直交行列であるとする。すると直交行列の定義と行列指数の性質により、次が成り立つ。

  $$ (e^{tX})^{\mathsf{T}} = (e^{tX})^{-1} = e^{-tX} $$

  また同様に、行列指数の性質により次が成り立つ。

  $$ (e^{tX})^{\mathsf{T}} = e^{tX^{\mathsf{T}}} $$

  したがって$X^{\mathsf{T}} = -X$が成り立つ。

• $X$が反対称ならば、$e^{tX}$は直交行列である。

  逆に$X^{\mathsf{T}} = -X$と仮定する。すると次が成り立つ。

  $$ \begin{align*} && e^{tX^{\mathsf{T}}} &= e^{-tX} \\ \implies && (e^{tX})^{\mathsf{T}} &= (e^{tX})^{-1} \\ \implies && (e^{tX})^{\mathsf{T}} (e^{tX}) &= I \\ \implies && e^{tX} &\text{ is orthogonal} \end{align*} $$

ここまでで反対称行列の集合が$\frak{o}(n)$であることを示した。ところで反対称行列は、その定義により対角成分がすべて$0$である。つまりトレースが$0$ということであり、これは対応するリー群の条件に「行列式が$1$である行列」が含まれるということなので、反対称行列の集合は$\operatorname{SO}(n)$のリー代数でもある。

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