📂表現論

2次特殊ユニタリ・リー代数 su(2)

定義¹

対角和が$0$であり、$X^{\ast} = - X$を満たすすべての$2 \times 2$複素行列の集合は、特殊ユニタリ群 $\operatorname{SU}(2)$のリー代数である。

$$ \mathfrak{su}(2) = \left\{ X \in M_{2}(\mathbb{C}) : \trace(X) = 0 \text{ and } X^{\ast} = - X \right\} $$

ここで$X^{\ast}$は$X$の共役転置行列を意味する。性質$X^{\ast} = - X$を反エルミート^{skew-Hermitian}という。

説明

$\mathfrak{su}(2)$は特殊ユニタリ・リー代数 $\mathfrak{su}(n)$において$n = 2$の場合であり、$3$次元の$\mathbb{R}$-ベクトル空間である。複素行列の集合ではあるが、体が実数である実ベクトル空間であることに注意せよ。反エルミート行列に$i$を掛けると次のようにエルミート行列になるので、スカラー倍は実数体$\mathbb{R}$においてのみ許される。$X$を反エルミート行列としよう。

$$ (iX)^{\ast} = \overline{i} X^{\ast} = (-i)(-X) = iX $$

基底と交換関係

$X \in \mathfrak{su}(2)$の条件を通じて、基底が実際にどのような形をしているかを探してみよう。反エルミート条件$X^{\ast} = -X$から、対角成分が純虚数でなければならないことがわかる。また$x_{21} = -\overline{x_{12}}$でなければならず、対角和が$0$でなければならないので$x_{22} = -x_{11}$である。したがって$\mathfrak{su}(2)$の元は、実数$a, b, c$に対して次のように表される。

$$ X = \begin{bmatrix} ia & b + ic \\ -b + ic & -ia \end{bmatrix} $$

ゆえに$\dim \mathfrak{su}(2) = 3$であり、上の式は再び自然に次のように分解される。

$$ \begin{align*} &\begin{bmatrix} ia & b + ic \\ -b + ic & -ia \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & b + ic \\ -b + ic & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} ia & 0 \\ 0 & -ia \end{bmatrix} \\ &= c\begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} + a\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} \end{align*} $$

したがって、次のような行列で構成される$\left\{ E_{1}, E_{2}, E_{3} \right\}$を$\mathfrak{su}(2)$の基底とすることができる。

$$ E_{1} = -\frac{i}{2}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \qquad E_{2} = -\frac{i}{2}\begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \qquad E_{3} = -\frac{i}{2}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \tag{1} $$

ここで定数を$a = b = c = -\frac{1}{2}$としたが、次のようにブラケットの結果と構造定数がきれいに求まるからである。

$$ [E_{1}, E_{2}] = E_{3}, \qquad [E_{2}, E_{3}] = E_{1}, \qquad [E_{3}, E_{1}] = E_{2} $$

上の計算結果は、この基底に対する構造定数がレヴィ・チヴィタ記号$\epsilon_{jk\ell}$であるということと同じである。

$$ [E_{j}, E_{k}] = \sum_{\ell=1}^{3} \epsilon_{jk\ell} E_{\ell} $$

パウリ行列

一方、$(1)$に現れる行列にはパウリ行列という特別な名前がある。

$$ \sigma_{1} = \sigma_{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \qquad \sigma_{2} = \sigma_{y} = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \qquad \sigma_{3} = \sigma_{z} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$

パウリ行列はエルミート行列であるため、これに複素数$i$を掛けた行列は反エルミート行列になる。

$$ E_{1} = -\dfrac{i}{2}\sigma_{1},\quad E_{2} = -\dfrac{i}{2}\sigma_{2},\quad E_{3} = -\dfrac{i}{2}\sigma_{3} $$

したがって、対角和が$0$である$2 \times 2$エルミート行列はすべてパウリ行列の実線形結合であるから、$\mathfrak{su}(2)$は次のように書くこともできる。

$$ \mathfrak{su}(2) = \left\{ i(a_{1}\sigma_{1} + a_{2}\sigma_{2} + a_{3}\sigma_{3}) : a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R} \right\} $$

物理学では反エルミート行列の代わりに、エルミートである$J_{a} = \frac{1}{2}\sigma_{a}$を生成元として用いる。これらは$\hbar = 1$の単位系において角運動量演算子の交換関係$[J_{1}, J_{2}] = i J_{3}$などを満たすが、$X_{a} := -i J_{a}$とおくと$X_{a} \in \mathfrak{su}(2)$であると同時に$[X_{1}, X_{2}] = X_{3}$となり、上の交換関係と同じ形になる。結局、物理のエルミート生成元と数学の反エルミート元は、$i$を掛けるか割るかの違いにすぎない。

関連リンク

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