📂表現論

ユニタリ・リー代数

定義¹

$X^{\ast} = - X$を満たすすべての$n \times n$複素行列の集合は、ユニタリ群 $\operatorname{U}(n)$のリー代数である。

$$ \mathfrak{u}(n) = \left\{ X \in M_{n}(\mathbb{C}) : X^{\ast} = - X \right\} $$

ここで$X^{\ast}$は$X$の共役転置行列を意味する。性質$X^{\ast} = - X$を反エルミート^{skew-Hermitian}という。

説明

上の内容は定義でもあり定理でもある。行列リー群のリー代数の定義に従うと、$\operatorname{U}$のリー代数の定義は次のとおりである。

$$ \begin{align*} \mathfrak{u} &= \left\{ X : e^{tX} \in \operatorname{U} \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ &= \left\{ X : (e^{tX})^{\ast}(e^{tX}) = I \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ \end{align*} $$

定義が言っているのは、対角和が$0$である反エルミート行列をすべて集めると、これが$\mathfrak{su}$になるということである。

証明

• $e^{tX}$がユニタリならば、$X$は反エルミートである。

  まず$e^{tX}$がユニタリ行列であるとしよう。すると行列指数の性質とユニタリ行列の定義により、次が成り立つ。

  $$ (e^{tX})^{\ast} = (e^{tX})^{-1} = e^{-tX} $$

  また同様に、行列指数の性質により次が成り立つ。

  $$ (e^{tX})^{\ast} = e^{tX^{\ast}} $$

  したがって$-X = X^{\ast}$が成り立つ。

• $X$が反エルミートならば、$e^{tX}$はユニタリである。

  逆に$-X = X^{\ast}$と仮定しよう。すると次が成り立つ。

  $$ \begin{align*} && e^{tX^{\ast}} &= e^{-tX} \\ \implies && (e^{tX})^{\ast} &= (e^{tX})^{-1} \\ \implies && (e^{tX})^{\ast} (e^{tX}) &= I \\ \implies && e^{tX} &\text{ is unitary} \end{align*} $$

■