📂表現論

特殊ユニタリ・リー代数

定義¹

トレースが$0$であり、$X^{\ast} = - X$を満たすすべての$n \times n$複素行列の集合は、特殊ユニタリ群$\operatorname{SU}(n)$のリー代数である。

$$ \mathfrak{su}(n) = \left\{ X \in M_{n}(\mathbb{C}) : \trace(X) = 0 \text{ and } X^{\ast} = - X \right\} $$

ここで$X^{\ast}$は$X$の共役転置行列を意味する。性質$X^{\ast} = - X$を反エルミート^{skew-Hermitian}という。

説明

上の内容は定義でもあり定理でもある。行列リー群のリー代数の定義により、$\operatorname{SU}$のリー代数の定義は次のとおりである。

$$ \begin{align*} \mathfrak{su} &= \left\{ X : e^{tX} \in \operatorname{SU} \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ &= \left\{ X : (e^{tX})^{\ast}(e^{tX}) = I \text{ and } \det(e^{tX})=1 \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ \end{align*} $$

定義が述べているのは、トレースが$0$である反エルミート行列をすべて集めると、それが$\mathfrak{su}$になるということである。

一方、$\mathfrak{su}(n)$は複素行列の集合であるが、$(n^{2}-1)$次元の$\mathbb{R}$-ベクトル空間であることに注意せよ。反エルミート行列に複素数$i$を掛けると、次のようにエルミート行列になるので、スカラー倍は実数体$\mathbb{R}$においてのみ許される。$X$を反エルミート行列としよう。

$$ (iX)^{\ast} = \overline{i} X^{\ast} = (-i)(-X) = iX $$

したがって$iX \notin \mathfrak{su}(n)$である。

証明

ユニタリ・リー代数と特殊線型リー代数の場合から、リー群とリー代数の条件がそれぞれ次のように対応することがわかる。

	リー群の条件	リー代数の条件
$\operatorname{SL}$と$\mathfrak{sl}$	$\det(X) = 1$	$\trace(X) = 0$
$\operatorname{U}$と$\mathfrak{u}$	$X^{\ast} = X^{-1}$	$X^{\ast} = - X$

ところが$\operatorname{SU}$の条件は$X^{\ast} = X^{-1}$と$\det(X) = 1$であるので、そのリー代数は$X^{\ast} = -X$と$\trace(X) = 0$を満たす行列の集合であることがわかる。

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