📂表現論

一般線形リー代数

定義¹

すべての$n \times n$複素行列の集合$M_{n}(\mathbb{C})$は、一般線形群 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$のリー代数である。

$$ \mathfrak{gl}(n, \mathbb{C}) = M_{n}(\mathbb{C}) $$

$$ \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) = M_{n}(\mathbb{R}) $$

一般化

$V$をベクトル空間としよう。$V$から$V$へのすべての線形変換の集合にブラケットを交換子として与えるとリー代数になり、これを$\mathfrak{gl}(V)$という。

$$ \mathfrak{gl}(V) = \operatorname{End} = \left\{ X : V \to V \mid X \text{ is linear} \right\} $$ $$ [X, Y] = XY - YX, \quad X, Y \in \mathfrak{gl}(V) $$

説明

上の内容は定義でもあり定理でもある。行列リー群のリー代数の定義によれば、$\operatorname{GL}$のリー代数の定義は次のとおりである。

$$ \begin{align*} \mathfrak{gl} &= \left\{ X : e^{tX} \in \operatorname{GL} \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ &= \left\{ X : e^{tX} \text{ is invertible for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ \end{align*} $$

実は、すべての行列の集合が上の集合と等しいということである。

証明

• $M_{n}(\mathbb{R}) \subset \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R})$

  $X \in M_{n}(\mathbb{R})$としよう。行列指数の性質によれば$e^{tX}$は可逆行列である。したがって$X \in \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R})$である。

• $\mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) \subset M_{n}(\mathbb{R})$

  $X \in \frak{gl}(n, \mathbb{R})$としよう。すると$e^{tX} \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$、すなわち$e^{tX}$は実行列である。$X = \left. \dfrac{\d e^{tX}}{\d t} \right|_{t=0}$であるから、$X$も実行列である。

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