📂動力学

フォン・コッホ曲線

定義 ¹

$K_{n+1}$ は次のように定義される。

1. $K_{n}$ の長さが $l$ のすべての線分を三等分し、
2. 中央の点に辺の長さが $l/3$ の正三角形を追加し、
3. 正三角形と $K_{n}$ が重なる部分を除去

することによって、次のような 集合 の極限 $K \subset \mathbb{R}^{2}$ を フォン・コッホ曲線^{von Koch curve} と定義する。 $$ K := \lim_{n \to \infty} K_{n} $$

説明

フォン・コッホ曲線はフラクタルの例として代表的に言及される図形であり、$K_{n}$ は $n$ が 1 増加するたびに長さが $4/3$ 倍に伸びる性質を持っている。これにより、$K_{0}$ の長さが $1$ とするとき、$K$ の長さは次のように無限大に発散する。 $$ \lim_{n \to \infty} \left( {\frac{ 4 }{ 3 }} \right)^{n} \cdot 1 = \infty $$

関連項目

• カントール集合