📂シュワルツ超函数

超函数として定義されるディラックデルタ関数のフーリエ変換

導入¹

調節超函数$F$のフーリエ変換はシュワルツ関数$\phi$に対して次のように定義される。

$$ \hat{F}[\phi] := F[\hat{\phi}] $$

ディラックデルタ関数に対して適用すると以下のようになる。

$$ \widehat{\delta}[\phi] = \delta[\widehat{\phi}] = \widehat{\phi}(\mathbf{0}) = \int_{\mathbb{R}^{n}} \phi (\mathbf{x}) e^{-\i \mathbf{x}\cdot \mathbf{0}} \d\mathbf{x} = \int_{\mathbb{R}^{n}} \phi (\mathbf{x}) \d\mathbf{x} $$

ここで右辺は$\phi$と定数$1$が掛けられていると考えると、超函数としての定数$\mathbf{1}$を次のように定義できる。

$$ \mathbf{1}[\phi] = \int_{\mathbb{R}^{n}} 1 \cdot \phi (\mathbf{x}) \d\mathbf{x} = \int_{\mathbb{R}^{n}} \phi (\mathbf{x}) \d\mathbf{x} $$

したがって超函数的観点からディラックデルタ関数のフーリエ変換は定数関数$1$である。

$$ \hat{\delta} = 1 \tag{1} $$

説明

$(1)$を逆に考えると、$1$のフーリエ逆変換がデルタ関数であるため、次の式を得る。

$$ \delta(\mathbf{x}) = \mathcal{F}^{-1}[1] = \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int_{\mathbb{R}^{n}} e^{\i \mathbf{x}\cdot\boldsymbol{\xi}} \d\boldsymbol{\xi} $$

右辺の積分は被積分関数$e^{\i \mathbf{x}\cdot\boldsymbol{\xi}}$の絶対値がどこでも$1$であるため積分は発散する。したがってこの等式は調節超函数の空間$\mathcal{S}^{\ast}$上でのみ正当化される。右辺の前の係数$(2\pi)^{-n}$はフーリエ変換をどう定義するかによって変わる。これから以下の有用な等式を得る。

$$ \delta(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int_{\mathbb{R}^{n}} e^{\i (\mathbf{x} - \mathbf{y})\cdot\boldsymbol{\xi}} \d\boldsymbol{\xi} = \braket{e^{\i \mathbf{y}} | e^{\i \mathbf{x}}} $$

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{\i Axy} \d y = \dfrac{2\pi}{A}\delta(x) $$