📂表現論

リー代数の構造定数

定義¹

$\mathfrak{g}$を有限次元のリー代数とする。$\left\{ X_{1}, \dots, X_{N} \right\}$を$\mathfrak{g}$の基底とする。以下のように決定される唯一の定数$c_{jk\ell}$たちを$\mathfrak{g}$の構造定数^{structure constants}という。

$$ [X_{j}, X_{k}] = \sum_{\ell=1}^{N} c_{jk\ell}X_{\ell} $$

性質

すべての$j,k,\ell,m$に対して次が成り立つ。

$$ c_{jk\ell} + c_{kj\ell} = 0 \tag{1} $$

$$ \sum_{n} \left( c_{jkn}c_{n\ell m} + c_{k\ell n}c_{njm} + c_{\ell jn}c_{nkm} \right) = 0 \tag{2} $$

説明

$(1)$はブラケット $\left[ \cdot, \cdot \right]$の反対称性により成り立ち、$(2)$はヤコビ恒等式により成り立つ。

ブラケットは双線形なので、任意の二つの元$X = \sum_{j} a_{j} X_{j}$、$Y = \sum_{k} b_{k} X_{k}$のブラケットは基底元同士のブラケット値によってすべて決定される。

$$ [X, Y] = \sum_{j, k} a_{j} b_{k} [X_{j}, X_{k}] = \sum_{\ell} \left( \sum_{j, k} a_{j} b_{k} c_{jk\ell} \right) X_{\ell} $$

すなわち基底を一つ固定すれば、構造定数がリー代数のブラケットを、したがってリー代数の構造全体を完全に決定する。

リー代数のブラケットは抽象的な双線形演算だが、上で見たように基底元同士の値だけで完全に決定される。構造定数はまさにそれらの値を集めたものなので、無限に多くの元の対に対するブラケット演算全体を有限個($N^{3}$個)の数に圧縮したものといえる。ここから次のような利点が生じる。

計算

任意の二つの元のブラケットが構造定数を用いた四則演算に還元される。抽象的な演算を直接扱う必要なく、数値データだけでリー代数を計算できる。

例えば特殊線形リー代数 $\mathfrak{sl}(2; \mathbb{C})$の[基底$\left\{ X, H, Y \right\}$は交換関係$[X, Y] = H$、$[H, X] = 2X$、$[H, Y] = -2Y$を満たす]。これを用いて二つの元$P = 2X + H$、$Q = X - Y$のブラケット$[P, Q]$を二通りの方法で計算して比較してみよう。

まず$P, Q$を実際の行列とみなし、交換子 $PQ - QP$を行列積で直接計算する方法がある。

$$ P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad [P, Q] = PQ - QP = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = 2X - 2H + 2Y $$

一方、$P, Q$の正体は忘れ、座標と上の交換関係、すなわち構造定数だけで双線形性(分配法則)を使って展開することもできる。

$$ [2X + H, X - Y] = 2\underbrace{[X, X]}_{0} - 2\underbrace{[X, Y]}_{H} + \underbrace{[H, X]}_{2X} - \underbrace{[H, Y]}_{-2Y} = 2X - 2H + 2Y $$

二つの方法の結果は同じだが、二つ目の方法は行列を一度も掛けていない。基底対でのブラケット値(構造定数)と四則演算さえあれば、リー代数が行列として実現されているという事実すら知らなくても任意のブラケットを計算できる。

一般化

構造定数はリー代数に限られた概念ではない。任意の体上の代数 $A$の積$\times$も双線形なので、基底$\left\{ e_{1}, \dots, e_{n} \right\}$に対して以下のように構造定数$c_{ijk}$を定義できる。

$$ e_{i} \times e_{j} = \sum_{k=1}^{n} c_{ijk} e_{k} $$

リー代数の構造定数は積をブラケットとした特殊な場合である。一般の代数の構造定数には何の制約もないが、リー代数ではブラケットの反対称性とヤコビ恒等式のために性質$(1)$、$(2)$という追加条件が付く。

例

特殊線形リー代数 $\mathfrak{sl}(2; \mathbb{C})$の基底$\left\{ X, H, Y \right\}$を$(X_{1}, X_{2}, X_{3}) = (X, H, Y)$とおく。以下で計算する交換関係$[X, Y] = H$、$[H, X] = 2X$、$[H, Y] = -2Y$から、$0$でない構造定数は次の通りである。

$$ c_{132} = 1, \quad c_{211} = 2, \quad c_{233} = -2 $$

残りは性質$(1)$の反対称性で定まる。例えば$c_{312} = -1$、$c_{121} = -2$、$c_{323} = 2$である。