📂表現論

リー代数の直和

定義¹

$\mathfrak{g}_{1}$, $\mathfrak{g}_{2}$をリー代数とする。$\mathfrak{g}_{1}$と$\mathfrak{g}_{2}$の直和^{direct sum} $\mathfrak{g}$はベクトル空間としての直和として定義される。

$$ \mathfrak{g} = \mathfrak{g}_{1} \oplus \mathfrak{g}_{2} $$

$\mathfrak{g}$のブラケットは次の通りである。

$$ \left[ (X_{1}, X_{2}), (Y_{1}, Y_{2}) \right]_{\mathfrak{g}} = \left([X_{1}, Y_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, [X_{2}, Y_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}\right) \tag{1} $$

$\mathfrak{g} = \mathfrak{g}_{1} \oplus \mathfrak{g}_{2}$がリー代数であり、$\mathfrak{g}_{1}$と$\mathfrak{g}_{2}$が$\mathfrak{g}$のリー部分代数であるとする。次の式が成り立つとき、$\mathfrak{g}$は$\mathfrak{g}_{1}$と$\mathfrak{g}_{2}$をリー代数直和として分解する^{decomposes as the Lie algebra direct sum}という。

$$ [X_{1}, X_{2}] = 0 \quad \text{for all } X_{1} \in \mathfrak{g}_{1}, X_{2} \in \mathfrak{g}_{2} $$

説明

$(1)$で定義されたブラケットは、$\mathfrak{g}_{1}$と$\mathfrak{g}_{2}$の間の交差項がなく独立に作用するという意味である。また、$\mathfrak{g}_{1} \oplus \mathfrak{g}_{2}$をリー代数にする。

• 双線形

$\mathfrak{g}_{1}$, $\mathfrak{g}_{2}$のブラケットの双線形性から、直和のブラケットも双線形性を持つ。ベクトル空間の直和において$a(X_{1}, X_{2}) + b(Y_{1}, Y_{2}) = (aX_{1} + bY_{1}, aX_{2} + bY_{2})$であるので、 $$ \begin{align*} & \Big[ a(X_{1}, X_{2}) + b(Y_{1}, Y_{2}), (Z_{1}, Z_{2}) \Big]_{\mathfrak{g}} \\ &= \Big[ (aX_{1} + bY_{1}, aX_{2} + bY_{2}), (Z_{1}, Z_{2}) \Big]_{\mathfrak{g}} \\ &= \left( \left[ aX_{1}+bY_{1}, Z_{1} \right]_{\mathfrak{g}_{1}}, \left[ aX_{2}+bY_{2}, Z_{2} \right]_{\mathfrak{g}_{2}} \right) \\ &= \left( a\left[ X_{1}, Z_{1} \right]_{\mathfrak{g}_{1}}+b\left[ Y_{1}, Z_{1} \right]_{\mathfrak{g}_{1}}, a\left[ X_{2}, Z_{2} \right]_{\mathfrak{g}_{2}}+b\left[ Y_{2}, Z_{2} \right]_{\mathfrak{g}_{2}} \right) \\ &= \left( a\left[ X_{1}, Z_{1} \right]_{\mathfrak{g}_{1}}, a\left[ X_{2}, Z_{2} \right]_{\mathfrak{g}_{2}} \right) + \left( b\left[ Y_{1}, Z_{1} \right]_{\mathfrak{g}_{1}}, b\left[ Y_{2}, Z_{2} \right]_{\mathfrak{g}_{2}} \right)\\ &= a\left( \left[ X_{1}, Z_{1} \right]_{\mathfrak{g}_{1}}, \left[ X_{2}, Z_{2} \right]_{\mathfrak{g}_{2}} \right) + b\left( \left[ Y_{1}, Z_{1} \right]_{\mathfrak{g}_{1}}, \left[ Y_{2}, Z_{2} \right]_{\mathfrak{g}_{2}} \right)\\ &= a \left[ (X_{1}, X_{2}), (Z_{1}, Z_{2}) \right]_{\mathfrak{g}} + b \left[ (Y_{1}, Y_{2}), (Z_{1}, Z_{2}) \right]_{\mathfrak{g}}\\ \end{align*} $$

• 反対称性

$\mathfrak{g}_{1}$, $\mathfrak{g}_{2}$のブラケットの反対称性から、直和のブラケットが反対称性を得る。 $$ \begin{align*} \left[ (X_{1}, X_{2}), (Y_{1}, Y_{2}) \right]_{\mathfrak{g}} &= \big([X_{1}, Y_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, [X_{2}, Y_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}\big) \\ &= \big(-[Y_{1}, X_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, -[Y_{2}, X_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}\big) \\ &= -\big([Y_{1}, X_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, [Y_{2}, X_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}\big) \\ &= -\left[ (Y_{1}, Y_{2}), (X_{1}, X_{2}) \right]_{\mathfrak{g}} \\ \end{align*} $$

• ヤコビ恒等式

$\mathfrak{g}_{1}$, $\mathfrak{g}_{2}$のブラケットがヤコビ恒等式を満たすため、$\mathfrak{g}$のブラケットも満たす。まず一つの項を計算すると次の通りである。

$$ \begin{align*} \Big[ \left[ (X_{1}, X_{2}), (Y_{1}, Y_{2}) \right]_{\mathfrak{g}}, (Z_{1}, Z_{2}) \Big]_{\mathfrak{g}} &= \Big[ \big([X_{1}, Y_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, [X_{2}, Y_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}\big), (Z_{1}, Z_{2}) \Big]_{\mathfrak{g}} \\ &= \Big( \big[ [X_{1}, Y_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, Z_{1} \big]_{\mathfrak{g}_{1}}, \big[ [X_{2}, Y_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}, Z_{2} \big]_{\mathfrak{g}_{2}} \Big) \end{align*} $$

残りの二つの項も同じ方法で計算した後、三つの項をすべて足すと、各成分は$\mathfrak{g}_{1}$, $\mathfrak{g}_{2}$におけるヤコビ恒等式となり$0$になる。

$$ \begin{align*} &\Big[ \left[ (X_{1}, X_{2}), (Y_{1}, Y_{2}) \right]_{\mathfrak{g}}, (Z_{1}, Z_{2}) \Big]_{\mathfrak{g}} + \Big[ \left[ (Y_{1}, Y_{2}), (Z_{1}, Z_{2}) \right]_{\mathfrak{g}}, (X_{1}, X_{2}) \Big]_{\mathfrak{g}} + \Big[ \left[ (Z_{1}, Z_{2}), (X_{1}, X_{2}) \right]_{\mathfrak{g}}, (Y_{1}, Y_{2}) \Big]_{\mathfrak{g}} \\ &= \left( \begin{aligned} &\big[ [X_{1}, Y_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, Z_{1} \big]_{\mathfrak{g}_{1}} + \big[ [Y_{1}, Z_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, X_{1} \big]_{\mathfrak{g}_{1}} + \big[ [Z_{1}, X_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, Y_{1} \big]_{\mathfrak{g}_{1}}, \\ &\big[ [X_{2}, Y_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}, Z_{2} \big]_{\mathfrak{g}_{2}} + \big[ [Y_{2}, Z_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}, X_{2} \big]_{\mathfrak{g}_{2}} + \big[ [Z_{2}, X_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}, Y_{2} \big]_{\mathfrak{g}_{2}} \end{aligned} \right) \\ &= (0, 0) \end{align*} $$