📂行列代数

一パラメータ部分群

定義¹

関数 $A : \mathbb{R} \to \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$ が次を満たすとき $A$ を $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$ の 1パラメータ部分群^{one-parameter subgroup}という。

1. $A$ は 連続関数である。

2. $A(0) = I$である。（$I$ は $n \times n$ 単位行列である。）

3. $A(s + t) = A(s) A(t)$、$\forall s, t \in \mathbb{R}$。

定理

$A$ が $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$ の1パラメータ部分群であれば、次を満たす $n \times n$ 複素行列 $X$ が 一意に存在する。

$$ A(t) = e^{tX} $$

このとき $e^{tX}$ は 行列指数である。

説明

定義の三条件において $A(t + s) = A(t) A(s)$ は $A$ が $\mathbb{R}$ から $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$ への 準同型写像であることを意味する。すなわち $t \mapsto A(t)$ はある実数 $t$ によって動く $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$ 内の連続的な経路であり、同時に群構造を保存する。

上の定理は重要な意味を持つ。1パラメータ部分群の定義では代数的条件(3.)が与えられているが、定理によれば $A$ の解析的な形が具体的に定まり、その形が 指数関数 $A(t) = e^{tX}$ である、ということである。特に1パラメータ部分群の全軌跡はただ一つの行列 $X=A^{\prime}(0)$ によって決定される。

証明

$X = A^{\prime}(0)$ がまさに定理で求める行列である。これのためにまず $A$ が微分可能であることを示す。行列値関数の積分は成分ごとの積分として定義する。

第1ステップ. $A$ は微分可能である。

行列値関数の積分は成分ごとの積分として定義されるので、次の補助関数 $H$ を考える。

$$ H(s) := \int_{0}^{s} A(u) du, \qquad H_{ij}(s) = \int_{0}^{s} A_{ij}(u) du $$

$A$ の各成分 $A_{ij}$ は連続関数であるので、微積分学の基本定理により各 $H_{ij}$ は微分可能である。

$$ H_{ij}^{\prime}(s) = A_{ij}(s), \qquad H^{\prime}(s) = A(s) \tag{1} $$

ここで二つのことを示す。

(i) $B$ の可逆性.

$\frac{1}{\epsilon} \int_{0}^{\epsilon} A(t) dt$ は $H$ を用いれば $s = 0$ における微分係数である。$(1)$ により

$$ \lim\limits_{\epsilon \to 0}\frac{1}{\epsilon} \int_{0}^{\epsilon} A(t) dt = \lim\limits_{\epsilon \to 0}\frac{H(\epsilon) - H(0)}{\epsilon} = H^{\prime}(0) = A(0) = I $$

行列式 ▷eq37◯は連続関数であり $\det I = 1 \ne 0$ なので、十分小さい $\epsilon > 0$ を取れば $\det \left( \dfrac{1}{\epsilon} \int_{0}^{\epsilon} A(t) dt \right) \ne 0$ である。したがって $B := \int_{0}^{\epsilon} A(t) dt$ は可逆である。

(ii) $A$ の微分可能性.

条件 $A(s)A(t) = A(s+t)$ と置換 $u = s + t$ を用いると

$$ A(s) B = \int_{0}^{\epsilon} A(s) A(t) dt = \int_{0}^{\epsilon} A(s+t) dt = \int_{s}^{s+\epsilon} A(u) du $$

であり、 $B$ が可逆なので

$$ A(s) = \left( \int_{s}^{s+\epsilon} A(u) du \right) B^{-1} $$

右辺の積分を $H$ に書き直すと $\int_{s}^{s+\epsilon} A(u) du = H(s+\epsilon) - H(s)$ であるが、$(1)$ において $H$ が微分可能であるためこの関数も $s$ に関して微分可能であり次が成り立つ。

$$ \frac{d}{ds} \left( \int_{s}^{s+\epsilon} A(u) du \right) = H^{\prime}(s+\epsilon) - H^{\prime}(s) = A(s+\epsilon) - A(s) $$

かっこ内の積分が微分可能であり $B^{-1}$ が $s$ に依らない定数行列であるので、これらの積は微分可能である。またその導関数 $\big( A(s+\epsilon) - A(s) \big) B^{-1}$ が連続であるため $A$ は $C^{1}$ である。

第2ステップ. $A^{\prime} (t) = A(t) X$.

$A$ が微分可能であるので、条件 $A(t+h) = A(t)A(h)$ と $A(0) = I$ から次を得る。

$$ \begin{align*} A^{\prime}(t) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{A(t+h) - A(t)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} A(t) \dfrac{A(h) - A(0)}{h} \\ &= A(t) A^{\prime}(0) = A(t) X \end{align*} $$

第3ステップ. $A(t) = e^{tX}$.

$C(t) := A(t) e^{-tX}$ とおく。行列指数の性質により $\dfrac{d}{dt} e^{-tX} = -X e^{-tX}$ であり、行列値関数の微分の性質により次が成り立つ。

$$ C^{\prime}(t) = A^{\prime}(t) e^{-tX} + A(t) \left( -X e^{-tX} \right) = A(t) X e^{-tX} - A(t) X e^{-tX} = 0 $$

したがって $C$ は定数であり $C(t) = C(0) = A(0) e^{O} = I^{2} = I$ である。すなわち $A(t) e^{-tX} = I$ であり、両辺に $e^{tX}$ を掛けると $A(t) = e^{tX}$ を得る。

第4ステップ. 一意性.

任意の $t$ に対して $A(t) = e^{tX} = e^{tY}$ としよう。両辺を ▷eq20◯ で微分し $t = 0$ を代入すると $X = Y$ を得る。

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