距離空間における連続性と一様連続性
定義
二つの距離空間$\left( X , d_{X} \right)$、$\left( Y , d_{Y} \right)$と部分集合$E\subset X$に対して、関数$f : E \to Y$を定義しよう。
$p \in E$としよう。ある$\varepsilon > 0$に対して、
$$ x \in E \quad \text{and} \quad d_{X}(p, x ) < \delta \implies d_{Y}(f(p) , f(x) ) < \varepsilon $$
を満たす$\delta>0$が存在するならば、$f$は$p \in E$で連続であるという。$f$が$E$の全ての点で連続ならば、$f$を$E$上での連続関数continuous functionという。
ある$ \varepsilon > 0$に対して、
$$ d_{X}(x_{1}, x_{2} ) < \delta \land x_{1}, x_{2} \in E \implies d_{Y}(f(x_{1}) , f(x_{2}) ) < \varepsilon $$
を満たす$\delta>0$が存在するならば、$f$が$E$上で一様連続uniformly continuousであるという。
- $\land$は論理的に「そして」を表す論理積の記号だ。
説明
連続と一様連続は、$\mathbb{R}$を超えて距離空間に対しても定義できる。$\mathbb{R}$の連続と異なる点は、$d_{1}$と$d_{2}$を変えての一般化が可能であることだ。
一方で、もっと難しい表現を使って、ある$B_{d_{Y}} (f(p) , \varepsilon )$に対して$f(B_{d_{X}} (p , \delta)) \subset B_{d_{Y}} (f(p) , \varepsilon )$を満たす$B_{d_{X}} (p , \delta)$が存在する時、$f$が$p \in X$で連続であるとも言える。初めは抽象的すぎて避けがちだが、見ているうちにこの表現の方が便利になるかもしれない。位相空間への一般化を考えれば、早めに慣れておいた方が良いかもしれない。
定理: 連続関数である同値条件
関数$f:X \to Y$に対して、以下の条件は互いに同値である。
$f : X \to Y$は連続である。
$\forall x \in X,\ \displaystyle \lim_{n \to \infty} p_{n} = p \implies \lim_{n \to \infty} f(p_{n}) = f(p)$
$Y$の全ての開集合$O$に対して、$f^{-1} ( O )$は$X$で開集合である。
$Y$の全ての閉集合$C$に対して、$f^{-1} ( C )$は$X$で閉集合である。
これらの性質は与えられた関数が連続であることを証明するのに役立つことがある。
上の図を見ると、一見、四番目の条件の反例に見える。閉区間$[c,d]$に対してその逆像$f^{-1} [c,d]$が$(a,b)$であり、知っての通り、$(a,b)$は開区間である。しかし、$f : (a,b) \to \mathbb{R}$なので、$(a,b)$は全空間になり、全空間は閉集合であるため、命題に反していない。