距離空間における内部閉包境界
定義
距離空間 $\left( X, d \right)$ について、$A \subset X$ とする。
$x \in O \subset A$ を満たす開集合 $O$ が存在する時、$x$ を $A$ の内点という。
$A$ の内点の集合 $A^{\circ}$ を $A$ の内部という。
$A$ とその値域の和集合 $\overline{A} : = A \cup a '$ を $A$ の閉包という。
$x \in \overline{A}$ であり、かつ $x \in \overline{X \setminus A}$ の時、$x$ を $A$ の境界点という。
$\partial A : = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}$ を $A$ の境界という。
説明
定義する必要はないかもしれないが、インテリアと対照的な $\overline{A}$ の外側の集合をエクステリアと呼ぶ。
開集合とこれらの概念は異なり定義されることもあるが、本質的には同じである。
定義は慎重に読めば誰でも理解できるものであり、図を通じて早く理解しよう。
$$ A $$
与えられた集合が上のような時、これらの概念を考えてみよう。
$$ A^{\circ} $$
インテリアは $A$ が含む $X$ の部分集合の中で最も大きな開集合である。
$$ \overline{A} $$
クロージャーは $A$ を含む $X$ の部分集合の中で最も小さな閉集合である。
$$ \partial A $$
バウンダリーはクロージャーからインテリアを引いた $X$ の部分集合と見ることができる。
インテリアとクロージャーの区別はさほど難しくないが、バウンダリーは一見すると点線か実線かによって混乱するかもしれない。境界であれば、迷わずバウンダリーと考えればいい。
このような定義を通じて、以下の性質は事実上、開集合と閉集合の定義と見ることができる。
性質: 開集合と閉集合
$A$ が距離空間 $X$ の部分集合とする。
$A$ が開集合であることと $A = A^{\circ}$ は等価である。
$A$ が閉集合であることと $A = \overline{A}$ は等価である。
もちろん、これらの性質は証明可能だが、ただの事実として受け入れても問題ない。