行列値関数の極限と連続性

概要

行列値関数の極限と連続性を定義する。行列値関数の極限の定義の仕方はベクトル値関数の極限の定義と同じである。スカラー関数の極限を各成分に適用することで自然に定義される。

定義

スカラー関数 $a_{ij} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$に対して，次の $\mathbf{A} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n \times m}$を行列値関数という。

$$ \mathbf{A}(t) = \begin{bmatrix} a_{11}(t) & \cdots & a_{1m}(t) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(t) & \cdots & a_{nm}(t) \end{bmatrix} $$

$\mathbf{A}$の $s$における極限^limitを次のように定義する。

$$ \lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t) = \begin{bmatrix} \lim\limits_{t \to s} a_{11}(t) & \cdots & \lim\limits_{t \to s} a_{1m}(t) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \lim\limits_{t \to s} a_{n1}(t) & \cdots & \lim\limits_{t \to s} a_{nm}(t) \end{bmatrix} $$

各々の $a_{ij}$ が連続である，すなわち次が成り立てば $\mathbf{A}$ は $s$ において連続^continuousであるという。

$$ \lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t) = \mathbf{A}(s) = \begin{bmatrix} a_{11}(s) & \cdots & a_{1m}(s) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(s) & \cdots & a_{nm}(s) \end{bmatrix} $$

説明

行列値関数の極限と連続は本質的にベクトル値関数の場合と全く同一であり，行列を一つのベクトル $\mathbb{R}^{n \times m} \cong \mathbb{R}^{nm}$ と考えれば自然に理解できる。つまり，$\mathbf{A}(t) = \begin{bmatrix} a_{ij}(t)\end{bmatrix}$ に対して $\lim\limits_{t \to s}\mathbf{A}(t)$ が存在するということは $$ \forall i,j, \quad \lim\limits_{t \to s} a_{ij}(t) $$ が存在することと同値である。ベクトル値関数の場合と異なる点は，行列にのみ定義される行列積，転置，跡，行列式，逆行列に関する内容などである。

性質

極限

行列値関数 $\mathbf{A}$，$\mathbf{B}$ の $s$ における極限が存在するなら，次が成り立つ。

(a) $\lim\limits_{t \to s} \left( \mathbf{A}(t) + \mathbf{B}(t) \right) = \lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t) + \lim\limits_{t \to s} \mathbf{B}(t)$

(b) 定数 $c$ に対して， $\lim\limits_{t \to s} c\mathbf{A}(t) = c\lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t)$

(c) $\lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t)\mathbf{B}(t) = \left( \lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t) \right) \cdot \left( \lim\limits_{t \to s} \mathbf{B}(t) \right)$

(d) $\lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t)^{\mathsf{T}} = \left( \lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t) \right)^{\mathsf{T}}$

(e) $\lim\limits_{t \to s} \tr \left( \mathbf{A}(t) \right) = \tr \left( \lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t) \right)$

(f) $\lim\limits_{t \to s} \det \left( \mathbf{A}(t) \right) = \det \left( \lim\limits_{t \to s} \mathbf{A}(t) \right)$

ただし，(a)，(c) では行列の和と積が定義されるサイズであると仮定する。$\mathbf{A}^{\mathsf{T}}$ は $\mathbf{A}$ の転置である。$\tr$ は跡，$\det$ は行列式を意味する。

連続

$\mathbf{A}$，$\mathbf{B}$ が $t = s$ において連続であれば，次の関数もまた連続である。

$\mathbf{A} + \mathbf{B}$
$c\mathbf{A}$
$\mathbf{A}\mathbf{B}$
$\mathbf{A}^{\mathsf{T}}$

$\mathbf{A}$ が $t = s$ において連続で，$\mathbf{A}(s)$ が可逆行列であれば，$s$ と十分に近い $t$ に対して $\mathbf{A}(t)$ も可逆であり，次が成り立つ。

$$ \lim_{t \to s} \mathbf{A}(t)^{-1} = \left( \lim_{t \to s} \mathbf{A}(t) \right)^{-1} = \mathbf{A}(s)^{-1} $$

証明

行列の和や積はすべて各成分の和と積から成っている。連続なスカラー関数の和と積も依然として連続であるから，行列値関数についても成り立つ。

(d), (e), (f)

転置，跡，行列式は連続関数であり，連続関数であるための同値条件が下のようになるため成り立つ。

$$ \lim_{t \to s} f(\mathbf{A}(t)) = f\left(\lim_{t \to s} \mathbf{A}(t)\right) $$