📂表現論

コンパクト シンプレクティック 群

定義¹

シンプレクティック群 $\operatorname{Sp}(n, \mathbb{C})$とユニタリー群 $\operatorname{U}(2n)$の共通部分を コンパクト・シンプレクティック群^{compact symplectic group}とする。

$$ \operatorname{Sp}(n) := \operatorname{Sp}(n, \mathbb{C}) \cap \operatorname{U}(2n) $$

説明

シンプレクティック群 $\operatorname{Sp}(n, \mathbb{C})$は次のような反対称双線型形式 $\omega$を保存する行列 $Q$の集合である。$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{2n}\end{bmatrix}$、$\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_{1} & \cdots & y_{2n}\end{bmatrix}$に対して、

$$ \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sum_{i=1}^{n} (x_{i}y_{n+i} - x_{n+i}y_{i}) $$

$$ \operatorname{Sp}(n, \mathbb{C}) = \left\{ Q \in M_{2n \times 2n}(\mathbb{C}) : \omega(Q \mathbf{x}, Q \mathbf{y}) = \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y}), \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{C}^{2n} \right\} $$

ユニタリー群は内積を保存する行列 $Q$の集合である。

$$ \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} = \sum_{i=1}^{2n} \overline{x_{i}} y_{i} $$

$$ \operatorname{U}(2n) = \left\{ Q \in M_{2n \times 2n}(\mathbb{C}) : \braket{Q \mathbf{x}, Q \mathbf{y}} = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}}, \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{C}^{2n} \right\} $$

したがってコンパクト・シンプレクティック群は $\omega$ と $\braket{\cdot, \cdot}$ を同時に保存する行列の集合である。共役線形写像 $J$ を以下のように定義して $\omega$ を内積について表現するのが便利だ。

$$ \begin{align*} J: \mathbb{C}^{2n} &\to \mathbb{C}^{2n} \\ \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} &\mapsto \begin{bmatrix} -\overline{\beta} \ \\ \overline{\alpha} \end{bmatrix} \end{align*} $$

上記のような $J$ に対して次が成り立つ。

$$ \omega (\mathbf{z}, \mathbf{w}) = \braket{J \mathbf{z}, \mathbf{w}}, \quad \mathbf{z}, \mathbf{w} \in \mathbb{C}^{2n} $$

$$ \braket{J \mathbf{z}, \mathbf{w}} = - \overline{\braket{\mathbf{z}, J\mathbf{w}}} = - \braket{J \mathbf{w}, \mathbf{z}} $$

$$ J^{2} = - I $$

性質

(a) $\operatorname{Sp}(1) = \operatorname{SU}(2)$

(b) $\operatorname{Sp}(n)$ はコンパクト・リー群である。

(c) $\operatorname{Sp}(n)$ は連結リー群である。

(d) $\forall U \in \operatorname{Sp}(n)$、$\det U = 1$

定理

$U \in \operatorname{U}(2n)$ に対して、$U$ が $\operatorname{Sp}(n)$ に属する必要十分条件は $U$ と $J$ が可換であることである。

$$ \forall U \in \operatorname{U}(2n),\quad U \in \operatorname{Sp}(n) \iff UJ = JU $$

証明

$U \in \operatorname{U}(2n)$、$\mathbf{z}, \mathbf{w} \in \mathbb{C}^{2}$とする。次が成り立つ。

$$ \omega(U \mathbf{z}, U \mathbf{w}) = \braket{J U \mathbf{z}, U \mathbf{w}} = \braket{U^{\ast} J U \mathbf{z}, \mathbf{w}} = \braket{U^{-1} J U \mathbf{z}, \mathbf{w}} $$

すると下の結果を得る。

$$ \begin{align*} && U &\in \operatorname{Sp}(n) \\ \iff && \omega(U \mathbf{z}, U \mathbf{w}) &= \omega(\mathbf{z}, \mathbf{w}) \quad \forall \mathbf{z}, \mathbf{w} \\ \iff && \braket{U^{-1} J U \mathbf{z}, \mathbf{w}} &= \braket{J\mathbf{z}, \mathbf{w}}, \quad \forall \mathbf{z}, \mathbf{w} \\ \iff && U^{-1} J U &= J \\ \iff && J U &= U J \end{align*} $$

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