保存力 (ほぞんりょく)
定義
力 $\mathbf{F}$が物体を点 $\mathbf{a}$から $\mathbf{b}$へ移動させるとき、その力がする仕事が経路に依らない値を持てばその力を 保存力conservative forceという。
$$ \underset{\text{path I}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \text{work} = \underset{\text{path II}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} $$
説明
経路に依らないとは始点 $\mathbf{a}$ と終点 $\mathbf{b}$ のみに依存するということと同じだ。数学的には保存場と同じ概念で、単位が力である保存場を特に保存力と呼べばよい。
力 $\mathbf{F}$が保存力であること、回転が $\mathbf{0}$であること、閉路積分が $0$であること、そしてスカラー・ポテンシャル $V$が存在することがいずれも同値であることを示せる。
$$ \begin{array}{ccc} \mathbf{F} \text{ は保存力である} & \iff & \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} \\[1em] \Updownarrow & & \Updownarrow \\[1em] \displaystyle \oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 0 & \iff & \text{$V$ が存在して } \mathbf{F} = -\nabla V \end{array} $$