物理量
定義1
物理量physical quantityとは、測定measurementによって定量化quantifyできる物質materialや系systemの性質を指す。
説明
任意の物理量は数値的値numerical valueと🔒(26/04/19)測定単位unit of measurementの積として表され、それぞれ略して値と単位と呼べる。具体的に任意の物理量 $Z$ に対して、その値は中括弧で囲んだ $\left\{ Z \right\}$、単位は角括弧で囲んだ $\left[ Z \right]$ として表す。
$$ Z = \left\{ Z \right\} \times [Z] = \left\{ Z \right\} [Z] $$
2つの物理量 $Z$ と $W$ の積は以下のように表す。
$$ ZW = (\left\{ Z \right\} \left\{ W \right\}) \times ([Z][W]) $$
次元
次元は異なる物理量を区別するためのもので、異なる次元を持つ物理量は異なる種類の物理量であることを意味する。物理量の根本的性質を表す方法であり、以下で説明する基本量、導出量、無次元量を定義する際にも用いる。基本となる次元は下記の7つであり、すべての物理量はこれらの組合せで表される。
$$ \text{질량: } \mathsf{M} \quad \text{길이: } \mathsf{L} \quad \text{시간: } \mathsf{T} \quad \text{전류: } \mathsf{I} $$ $$ \text{온도: } \mathsf{\Theta} \quad \text{물질의 양: } \mathsf{N} \quad \text{광도: } \mathsf{J} $$
単位
🔒(26/04/19)単位は物理量の値を付けるための基準を指す。物理量の大きさを推し量るために必須である。
要約すると次元は物理量の区別のための概念、単位は物理量に値を付け表現するための概念である。
基本量
基本物理量base quantitiesとは、物理量の部分集合であり、他のどの物理量でも表されない物理量を指す。他のすべての物理量は基本物理量から導出できる。国際量体系international system of quantities, ISQでは以下の $7$ 個の基本物理量を指定する。
| 物理量 | SI 単位 | 次元記号 | ||
|---|---|---|---|---|
| 名称 | 記号 | 名称 | 記号 | |
| 長さ | $l$, $x$, $r$ | メートル | $\mathrm{m}$ | $\mathsf{L}$ |
| 時間 | $t$ | 秒 | $\mathrm{s}$ | $\mathsf{T}$ |
| 質量 | $m$ | キログラム | $\mathrm{kg}$ | $\mathsf{M}$ |
| 温度 | $T$ | ケルビン | $\mathrm{K}$ | $\mathsf{\Theta}$ |
| 物質量 | $n$ | モル | $\mathrm{mol}$ | $\mathsf{N}$ |
| 電流 | $i$, $I$ | アンペア | $\mathrm{A}$ | $\mathsf{I}$ |
| 光度 | $I_{\mathrm{v}}$ | カンデラ | $\mathrm{cd}$ | $\mathsf{J}$ |
したがって任意の物理量 $Z$ の次元は以下のように基本物理量の冪の積で表される。
$$ [Z] = \left[ \mathsf{L} \right]^{\alpha} \left[ \mathsf{T} \right]^{\beta} \left[ \mathsf{M} \right]^{\gamma} \left[ \mathsf{\Theta} \right]^{\delta} \left[ \mathsf{N} \right]^{\epsilon} \left[ \mathsf{I} \right]^{\zeta} \left[ \mathsf{J} \right]^{\eta} $$
基本物理量は代数学的観点からベクトル空間の基底に類比できる。ベクトル空間 $V$ の任意の ベクトル $v \in V$ は 基底 $\left\{ e_{i} \right\}$ を用いて次のように表される。 $$ v = \sum_{i} c_{i} e_{i} $$ ベクトル空間の基底がそれらの組合せで全てのベクトルを表現できるように、基本物理量もまたそれらの組合せで他のすべての物理量を表現できる。
論理的には 公理axiomに例えられる。数学における公理とは、他のいかなる命題からも導出・証明されずに真として受け入れる命題を指す。速度は長さと時間で、運動量は質量と速度で説明できる一方で、基本物理量である質量や時間はそれ自体で理解し受け入れなければならない。
導出量
導出物理量derived quantitiesとは、基本物理量の組合せで定義される物理量を指す。
スカラー
| 名称 | 記号 | SI 単位 | 次元 |
|---|---|---|---|
| 質量 | $m$ | キログラム $\mathrm{kg}$ | $\mathsf{M}$ |
| 時間 | $t$ | 秒 $\mathrm{s}$ | $\mathsf{T}$ |
| 体積 | $V$ | $\mathrm{m}^{3}$ | $\mathsf{L}^{3}$ |
| 密度 | $\rho$ | $\mathrm{kg/m^{3}}$ | $\mathsf{ML}^{-3}$ |
ベクトル
| 名称 | 記号 | SI 単位 | 次元 |
|---|---|---|---|
| 位置 | $x$, $\mathbf{x}$ | - | - |
| 速度 | $v$, $\mathbf{v}$ | - | - |
| 加速度 | $a$, $\mathbf{a}$ | - | - |
| 力 | $F$, $\mathbf{F}$ | - | - |
| 運動量 | $p$, $\mathbf{p}$ | - | - |
テンソル
| 名称 | 記号 | SI 単位 | 次元 |
|---|---|---|---|
| コーシー応力テンソル | $\sigma$ | - | - |
| マクスウェル応力テンソル | $\mathbf{T}$ | - | - |
無次元量
無次元量dimensionless quantitesとは次元が $1$、すなわち結合されたすべての次元の指数が $0$ である物理量を指す。$A$ が無次元量であれば、
$$ \left[ A \right] = \left[ \mathsf{L} \right]^{0} \left[ \mathsf{T} \right]^{0} \left[ \mathsf{M} \right]^{0} \left[ \mathsf{\Theta} \right]^{0} \left[ \mathsf{N} \right]^{0} \left[ \mathsf{I} \right]^{0} \left[ \mathsf{J} \right]^{0} = 1 $$