フォン・ミーゼス分布の特性関数
公式
整数 $n$ に対して、フォン・ミーゼス分布 $\operatorname{vM}(\mu, \kappa)$ の 特性関数 $\phi_{n}$ は次のようになる。
$$ \phi_{n} = \dfrac{I_{n}(\kappa)}{I_{0}(\kappa)} e^{\mathrm{i}\mu n} $$
ここで $I_{n}$ は次数が $n$ の 第1種修正ベッセル関数である。
導出
フォン・ミーゼス分布の 確率密度関数 は以下の通りである。
$$ f(\theta) = f(\theta; \mu, \kappa) = \dfrac{1}{2 \pi I_{0}(\kappa)} \exp (\kappa \cos (\theta - \mu)) $$
特性関数を求めるために式を整理すると以下のようになる。
$$ \begin{align*} \phi_{n} &= \mathbb{E} \left[ e^{\mathrm{i}n\theta} \right] \\ &= \dfrac{1}{2\pi I_{0}(\kappa)} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\mathrm{i}n\theta} e^{\kappa \cos (\theta - \mu)} \mathrm{d}\theta \\[1em] &\quad (\text{\変数変換: $x = \theta - \mu$}) \\ &= \dfrac{1}{2\pi I_{0}(\kappa)} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\mathrm{i}nx} e^{\mathrm{i}n\mu} e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x \\ &= \dfrac{e^{\mathrm{i}n\mu}}{2\pi I_{0}(\kappa)} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\mathrm{i}nx} e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x \\ &= \dfrac{e^{\mathrm{i}n\mu}}{2\pi I_{0}(\kappa)} \int_{-\pi}^{\pi} (\cos(nx) + \mathrm{i}\sin(nx)) e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x \quad (\text{オイラーの公式})\\ &= \dfrac{e^{\mathrm{i}n\mu}}{2\pi I_{0}(\kappa)} \left[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x + \mathrm{i}\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x \right] \end{align*} $$
第二の積分を見ると、 $\sin(nx)$ は 奇関数 であり、 $e^{\kappa \cos x}$ は 偶関数 であるため、被積分関数は奇関数であり積分は $0$ である。
$$ \begin{align*} \phi_{n} &= \dfrac{e^{\mathrm{i}n\mu}}{2\pi I_{0}(\kappa)} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x \\ &= \dfrac{e^{\mathrm{i}n\mu}}{\pi I_{0}(\kappa)} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x &= \dfrac{e^{\mathrm{i}n\mu}}{I_{0}(\kappa)} \left[ \dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x \right] \end{align*} $$
ここで括弧内の値は、 $n$ が整数であるため、以下のように表される。
$$ \phi_{n} = \dfrac{e^{\mathrm{i}n\mu}}{I_{0}(\kappa)} I_{n}(\kappa) = \dfrac{I_{n}(\kappa)}{I_{0}(\kappa)} e^{\mathrm{i}\mu n} $$
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