📂確率分布論

巻き付き分布

도입¹

実数 $\mathbb{R}$ 上の 確率変数 $X$ があるとする。さらに $X$ が周期性を持つとする。（確率値ではなく確率変数が周期性を持つことに注意。）周期性を持つ確率変数 $\Theta$ は以下のように表される。

$$ \theta = x \pmod{2\pi} \tag{1} $$

直観的にはこれは実数空間 $\mathbb{R}$ を 単位円 にぐるぐる巻きにするようなものだ。無限に長いテープに確率密度関数を描き、それを円筒に巻き付けるのと同じである。

$\Theta$ で $\theta$ がサンプリングされたなら、$X$ では $\theta + 2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$) のいずれかがサンプリングされたことになる。つまり $\Theta$ に対する 確率 を $P_{w}$ とすると、$\Theta$ が $0$ から $\theta$ の間でサンプリングされる確率は、すべての $k$ に対して $X$ が $2\pi k$ から $\theta + 2\pi k$ の間でサンプリングされる確率の総和に等しい。式で表すと次のようになる。

$$ P_{w}([0, \theta]) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} P([2\pi k, \theta + 2\pi k]) $$

ここで $P$ は $X$ に関する確率である。したがって $\Theta$ の 累積分布関数 $F_{w}$ は、$X$ の累積分布関数 $F$ に関して次のように表される。

$$ F_{w}(\theta) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} F(\theta + 2\pi k) - F(2\pi k) $$

すると確率密度函数は以下の通りである。

$$ f_{w}(\theta) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} f(\theta + 2\pi k) $$

정의

実数 $\mathbb{R}$ 上の確率変数 $X$ に対して、$\Theta = X (\bmod 2\pi)$ により定義される確率変数 $\Theta$ が従う分布を $X$ の ラップド分布^{wrapped distribution} と呼ぶ。ラップド分布の確率密度関数 $f_{w}$ は $X$ の確率密度関数 $f$ に対して次のように表される。

$$ f_{w}(\theta) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} f(\theta + 2\pi k) $$

설명

ラップド分布を視覚的に表すと下のアニメーションのようになる。

성질

(a) 写像 $x \mapsto x_{w} = x (\bmod{2\pi})$ に対して次が成り立つ。 $$ (x + y)_{w} = x_{w} + y_{w} $$